【題目】(2016山東濰坊第25題)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),點B(﹣9,10),AC∥x軸,點P時直線AC下方拋物線上的動點.
(1)求拋物線的解析式;(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點P為拋物線的頂點時,在直線AC上是否存在點Q,使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,求出點Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2+2x+1;(2)P(﹣,﹣);(3)(﹣4,1)或(3,1).
【解析】
試題分析:(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;(2)設(shè)點P(m, m2+2m+1),表示出PE=﹣m2﹣3m,再用S四邊形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE,建立函數(shù)關(guān)系式,求出極值即可;(3)先判斷出PF=CF,再得到∠PCF=∠EAF,以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,分兩種情況計算即可.
試題解析:(1)∵點A(0,1).B(﹣9,10)在拋物線上,
∴,
∴b=2,c=1,
∴拋物線的解析式為y=x2+2x+1,
(2)∵AC∥x軸,A(0,1)
∴x2+2x+1=1,
∴x1=6,x2=0,
∴點C的坐標(biāo)(﹣6,1),
∵點A(0,1).B(﹣9,10),
∴直線AB的解析式為y=﹣x+1,
設(shè)點P(m, m2+2m+1)
∴E(m,﹣m+1)
∴PE=﹣m+1﹣(m2+2m+1)=﹣m2﹣3m,
∵AC⊥EP,AC=6,
∴S四邊形AECP
=S△AEC+S△APC
=AC×EF+AC×PF
=AC×(EF+PF)
=AC×PE
=×6×(﹣m2﹣3m)
=﹣m2﹣9m
=﹣(m+)2+,
∵﹣6<m<0
∴當(dāng)m=﹣時,四邊形AECP的面積的最大值是,
此時點P(﹣,﹣).
(3)∵y=x2+2x+1=(x+3)2﹣2,
∴P(﹣3,﹣2),
∴PF=yF﹣yP=3,CF=xF﹣xC=3,
∴PF=CF,
∴∠PCF=45°
同理可得:∠EAF=45°,
∴∠PCF=∠EAF,
∴在直線AC上存在滿足條件的Q,
設(shè)Q(t,1)且AB=9,AC=6,CP=3
∵以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,
①當(dāng)△CPQ∽△ABC時,
∴,
∴,
∴t=﹣4,
∴Q(﹣4,1)
②當(dāng)△CQP∽△ABC時,
∴,
∴,
∴t=3,
∴Q(3,1).
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