Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著AC方向向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著CB方向向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如果M，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)M到達(dá)C點(diǎn)處時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，四邊形AMNB的面積為S．

（1）用含t的代數(shù)式表示：CM＝　 　，CN＝　 　．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△CMN與△ABC相似？

（3）求S和t的關(guān)系式（寫出自變量t的取值范圍）；當(dāng)t取何值時(shí)，S的最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】（1）CM＝6﹣t，CN＝2t；（2）t為3或1.2；（3）（t-3）2+27（0＜t＜6），t＝3，27

【解析】

（1）先由運(yùn)動(dòng)得出AM＝t，CN＝2t，繼而得出CM，即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況，利用相似三角形得出的比例式建立方程求解，即可得出結(jié)論；

（3）利用三角形的面積的差即可得出結(jié)論．

解：（1）由運(yùn)動(dòng)知，AM＝t，CN＝2t，

∵AC＝6，

∴CM＝AC﹣AM＝6﹣t，

故答案為：6﹣t，2t；

（2）由（1）知，CM＝6﹣t，CN＝2t，

①當(dāng)△CMN∽△CAB時(shí)，

∴，

∵AC＝6，BC＝12，

∴，

∴t＝3，

②當(dāng)△CMN∽△CBA，

∴，

∴，

∴t＝1.2，

即：t為3或1.2時(shí)，△CMN與△ABC相似；

（3）由（1）知，CM＝6﹣t，CN＝2t，

∴S四邊形AMNB＝S△ABC﹣S△CMN＝×6×12﹣×2t×（6﹣t）＝（t-3）2+27（0＜t＜6），

當(dāng)t＝3時(shí)，S四邊形AMNB最小＝27