Question

【題目】我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）= ．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（1）如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．求證：對任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；
（2）如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”中F（t）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解對任意一個(gè)完全平方數(shù)m，設(shè)m=n2（n為正整數(shù)），

∵|n﹣n|=0，

∴n×n是m的最佳分解，

∴對任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F（m）= =1

（2）

解：設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′=10y+x，

∵t為“吉祥數(shù)”，

∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，

∴y=x+2，

∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)，

∴“吉祥數(shù)”有：13，24，35，46，57，68，79，

∴F（13）= ，F(xiàn)（24）= = ，F(xiàn)（35）= ，F(xiàn)（46）= ，F(xiàn)（57）= ，F(xiàn)（68）= ，F(xiàn)（79）= ，

∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ，aaa

∴所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值是

【解析】（1）根據(jù)題意可設(shè)m=n2 ， 由最佳分解定義可得F（m）= =1；（2）根據(jù)“吉祥數(shù)”定義知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，結(jié)合x的范圍可得2位數(shù)的“吉祥數(shù)”，求出每個(gè)“吉祥數(shù)”的F（t），比較后可得最大值．本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解最佳分解、“吉祥數(shù)”的定義，并將其轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．