Question

如圖，已知：AB為⊙O的直徑，AB=6

3

，弧AC=

1

3

弧AB，過(guò)B點(diǎn)的切線(xiàn)與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D．
（1）求OD的長(zhǎng)；
（2）若P是AD上的任意一點(diǎn)（不與A、D重合），設(shè)PD=x，求△POD的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由弧AC=

1

3

弧AB，根據(jù)等弧對(duì)等角得到∠AOC為60°，又OC=OA，則三角形AOC為等邊三角形，得到∠A為60°，在直角三角形ABD中，由銳角三角函數(shù)的定義得到tanA等于DB比AB，由tanA和AB的值，求出DB的值，由根據(jù)半徑OB為直徑AB的一半求出OB的長(zhǎng)，在直角三角形OBD中，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)即可；
（2）過(guò)O作OE垂直于AC，即為三角形OPD中PD邊上的高，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到E為AC中點(diǎn)，由AC的長(zhǎng)求出AE的長(zhǎng)，在直角三角形AEO中，由OA和AE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OE的長(zhǎng)，利用PD乘以O(shè)E的一半即可表示出三角形OPD的面積，得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，由三角形ABD為直角三角形，且∠ADB為30°，由AB的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長(zhǎng)，即得到x的范圍．

解答：解：（1）連接OC．
∵弧AC=

1

3

弧AB，
∴∠AOC=

1

3

∠AOB=60°，
又OA=OC，
∴△ACO為等邊三角形，
∴∠A=60°，
又BD為半圓的切線(xiàn)，
∴BD⊥AB，即∠ABD=90°，
又AB=6

3

，
在Rt△ABD中，tanA=

DB

AB

，
∴BD=ABtan60°=6

3

×

3

=18，
∴∠ADB=30°，
∴AD=2AB=12

3

，
又半徑OB=

1

2

AB=3

3

，
在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得：
OD=

BD2+OB2

=

182+(3 3 )2

=3

39

；

（2）過(guò)O作OE⊥AC，交AC于點(diǎn)E．
∵△ACO為等邊三角形，
∴AE=CE=

1

2

AC=

3 3

2

，又AO=3

3

，
在Rt△AEO中，根據(jù)勾股定理得：OE=

(3 3 )2-( 3 3 2 )2

=

9

2

，
則三角形OPD的面積y=

1

2

PD•OE=

1

2

x•

9

2

=

9

4

x，且0＜x＜12

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及銳角三角函數(shù)定義，此類(lèi)題的綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生掌握知識(shí)全面，借助圖形，多次利用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)求解，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．