Question

已知：如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，OH⊥AC于H，過A點(diǎn)的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠B=30°，OH=5．請(qǐng)求出：
（1）∠AOC的度數(shù)；
（2）劣弧AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）；
（3）線段AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）直接用圓周角定理得到∠AOC的度數(shù)；
（2）由（1）已得到圓心角的度數(shù)，再通過特殊角求出半徑，最后運(yùn)用弧長(zhǎng)公式求出劣弧AC的長(zhǎng)；
（3）由切線的性質(zhì)可得△OAD是直角三角形，而OA，∠AOC已求，利用特殊角很快就可得到AD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°（同弧所對(duì)的圓心角等于它所對(duì)圓周角的2倍）；

（2）∵OA=OC，OH⊥AC，
∴∠AOH=

1

2

∠AOC=30°，而OH=5，
∴AH=

5

3

=

5  3

3

，則OA=

10  3

3

；
∴劣弧AC的長(zhǎng)=

60π•  10  3 3

180

=

10  3  π

9

．

（3）∵AD是⊙O的切線，
∴∠OAD=90°，
又∵∠AOD=60°，OA=

10  3

3

，
∴AD=

3

OA=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，垂徑定理和切線的性質(zhì)定理．同時(shí)也考查了弧長(zhǎng)公式，記住含30度的直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系．