Question

【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B. C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC.設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β.

(1)如圖1,如果∠BAC=90，∠BCE=___度；

(2)如圖2，你認(rèn)為α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由。

(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α、β之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）α+β=180°，理由見(jiàn)解析；（3）α+β=180°，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題干中給出的條件可以證明△ABD≌△ACE，即可證明∠B=∠ACE，即可求出∠BCE的度數(shù)；

（2）根據(jù)（1）中的△ABD≌△ACE，可以證明α+β=180°；

（3）連接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，連接DE、CE，可得△ABD≌△ACE(SAS)，即可證明：α+β=180°．

（1）∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠EAC+∠DAC；

∴∠CAE=∠BAD；

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠B=∠ACE；

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180∠BAC=90°；

(2)由(1)中可知β=180°α，

∴α、β存在的數(shù)量關(guān)系為α+β=180°；

(3)連接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，連接DE、CE，可得下圖：

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE；

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠B=∠ACE；

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°∠BAC.

∴α、β存在的數(shù)量關(guān)系為α+β=180°；