Question

【題目】二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)在軸上，直線與軸交于點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：；

（3）當(dāng)時(shí)等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2（2）見(jiàn)解析（3）（2，3）或（2，3）

【解析】

（1）根據(jù)題意可設(shè)函數(shù)的解析式為y＝ax2，將點(diǎn)A代入函數(shù)解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF＝PM；

（3）首先可得∠FMH＝30，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），根據(jù)PF＝PM＝FM，可得關(guān)于x的方程，求出x的值即可得出答案．

（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2，

將點(diǎn)代入y＝ax2得：a＝，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2；

（2）設(shè)P（m，m2），

∵F（0，1），

∴PF＝＝m2＋1，

∵PM⊥HM，且點(diǎn)M在直線y＝1上，

∴PM＝m2＋1，

∴PF＝PM；

（3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，∠PMF＝60，

∴∠FMH＝30，

在Rt△MFH中，MF＝2FH＝2×2＝4，

∵PF＝PM＝FM，

∴x2＋1＝4，

解得：x＝±2，

∴x2＝×12＝3，

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（2，3）．