Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)是軸上方拋物線上的動點(diǎn)，以為邊作正方形，隨著點(diǎn)的運(yùn)動，正方形的大小、位置也隨著改變，當(dāng)頂點(diǎn)或恰好落在軸上時，請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或0或2或．

【解析】

（1）將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入可求得解析式，將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)；

（2）過作軸于點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用可得結(jié)果；

（3）分2種情況討論，一種是點(diǎn)G在y軸上，另一種是H在y軸上，利用矩正方形夾角為90°和鄰邊相等的性質(zhì)可求得．

（1）把點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為代入拋物線得：

解得：

∴，

∴；

（2）如圖，在線段上選取點(diǎn)，使得，過作軸于點(diǎn)．

此時．

設(shè)，

在中，

．

即．

解得．

∴．

設(shè)，則，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

即，

當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，有，

解得（舍去），，

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；

當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，有，

解得（舍去），，

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；

綜上可知點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

（3）情況一：點(diǎn)G在y軸上

設(shè)點(diǎn)P(m，)

∵

∴點(diǎn)P(m，)

∵點(diǎn)B(4，0)

∴根據(jù)B、P兩點(diǎn)可得PB的解析式為：

∵四邊形PHGB是矩形，∴BG⊥PB

∴直線BG的解析式中，k=

將點(diǎn)B代入BG的解析式，可求得BG的解析式為：

∵點(diǎn)G在y軸上，令x=0，解得：y=

∴G(0，)

∵四邊形PHGB是矩形，∴PB=BG，

根據(jù)點(diǎn)B、P的坐標(biāo)得：

根據(jù)點(diǎn)B、G的坐標(biāo)得：

另，即

∵

∴化簡得：

a.(m-4)(m+2)=8

解得：m=1+(舍)，或m=1-(舍)

b.(m-4)(m+2)=-8

解得：m=0，或m=2

情況二：點(diǎn)H在y軸上

同上:點(diǎn)P(m，)，點(diǎn)B(4，0)，根據(jù)B、P兩點(diǎn)可得PB的解析式為：，

∵四邊形PHGB是矩形，∴PH⊥PB

∴PH解析式的k=

將點(diǎn)P代入PH的解析式，可求得PH的解析式為：

∴H(0，)

根據(jù)點(diǎn)P、H的坐標(biāo)得：

同理，，即：

化簡得：

a.

解得：m=2+(舍)，或m=2－2

b.

解得：m=2，或m=-2(舍)

綜上得：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或0或2或