在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(2,0)、B(4,0)兩點,直線交y軸于點C,且過點D(8,m).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸上找一點P,使CP+DP的值最小,求出點P的坐標;
(3)將拋物線y=x2+bx+c左右平移,記平移后點A的對應點為A′,點B的對應點為B′,當四邊形A′B′DC的周長最小時,求拋物線的解析式及此時四邊形A′B′DC周長的最小值.

【答案】分析:(1)將A、B點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值;
(2)根據(jù)已知直線的解析式可求出C點的坐標,作C關(guān)于x軸的對稱點C′,連接C′D,與x軸的交點即為所求的P點,可先求出直線C′D的解析式,進而求出P點的坐標;
(3)由于A′B′、CD都是定長,若四邊形A′B′DC的周長最小,那么A′C+B′D就最短,此時C′A′應該平行于B′D,很顯然拋物線應該向左平移,可將D向左平移2個單位(即AB的長)得到D′,那么C′D′與x軸的交點即為所求的A′,可先求出直線C′D′的解析式,然后再求得A′的坐標,也就能得到B′的坐標,用待定系數(shù)法即可求得平移后拋物線的解析式;此時四邊形A′B′DC的最小周長為:C′D′+AB+CD.
解答:解:(1)由于拋物線經(jīng)過A(2,0),B(4,0),則有:
y=(x-2)(x-4)=x2-6x+8;

(2)易知:C(0,2),D(8,6);
作C關(guān)于x軸的對稱點C′(0,-2),連接C′D,點P即為直線C′D與x軸的交點;
設(shè)直線C′D的解析式為:y=kx-2,則有:
8k-2=6,k=1;
∴直線C′D的解析式為y=x-2;則P點坐標為:P(2,0);

(3)當拋物線向右平移時,A′C+B′D>AC+BD,顯然不存在符合條件的拋物線;
當拋物線向左平移時,設(shè)平移后A′(x,0),B′(x+2,0);
若平移后四邊形A′B′DC的周長最小,那么A′C+B′D就應該最小;
將D向左平移2個單位,得:D′(6,6);
若四邊形A′B′DC的周長最小,那么C′、A′、D′就應該在同一直線上,
設(shè)直線C′D′的解析式為:y=k′x-2,則有:6k′-2=6,k′=;
∴直線C′D′的解析式為y=x-2,
則A′(,0),B′(,0);
∴此時拋物線的解析式為:y=(x-)(x-)=x2-5x+;
此時四邊形A′B′DC的周長為:A′B′+A′C+B′D+CD=AB+CD+C′D′=2+4+10=12+4
點評:此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識;能夠確定四邊形A′B′DC的周長最小時A′的具體位置是解答此題的關(guān)鍵.
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