Question

【題目】如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)α=150°時(shí)，△AOD是直角三角形，理由見解析；（3）當(dāng)α的度數(shù)為125°或110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OC=OD，結(jié)合題意即可證得結(jié)論；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可作出判斷；

（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答.

（1）證明：∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC

∴CO=CD，∠OCD=60°

∴△COD是等邊三角形.

（2）解：當(dāng)=150°時(shí)，△AOD是直角三角形

理由是:∵△BOC≌△ADC

∴∠ADC=∠BOC=150°

又∵△COD是等邊三角形

∴∠ODC=60°[來(lái)

∴∠ADO=∠ADC -∠ODC=90°，即△AOD是直角三角形.

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO

∵∠AOD= = ,∠ADO=

∴=

∴

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO

∵∠OAD=（∠AOD+∠ADO）==

∴=

∴

③要使DO=DA,需∠OAD=∠AOD.

∵∠AOD= = ，∠OAD=∴=，解得

綜上所述：當(dāng)的度數(shù)為或或時(shí)，△AOD是等腰三角形.

“點(diǎn)睛”本題以“空間與圖形”中的核心知識(shí)（如等邊三角形）的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等）為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)，試題中幾何演繹推理的難度適中，蘊(yùn)含著豐富的思想方法（如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等）能較好地考查學(xué)生的推理、探究及解決問(wèn)題的能力.