Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，現(xiàn)將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)的A′落在直線y=x上時(shí)，點(diǎn)A′的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為；點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為；
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)．
①如圖2，在正方形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，線段AM，MN，NC三者滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
②當(dāng)AC∥MN時(shí)，求△MBN內(nèi)切圓的半徑（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】
（1）A′（ , ）,B′（2 ,0）
（2）解：①結(jié)論：AM+CN=MN；

理由：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，

則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，

∴∠AOE=∠CON，

又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN，

在△OAE和△OCN中，

，

∴△OAE≌△OCN（ASA），

∴OE=ON，AE=CN，

在△OME和△OMN中

，

∴△OME≌△OMN（SAS）．

∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

②∵M(jìn)N∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM，

∴BM=BN，∵BA=BC，

∴AM=NC，

設(shè)AM=NC=a，則MN=2a，

在Rt△BMN中，（2a）2=（2﹣a）2+（2﹣a）2，

解得a=2 ﹣2或﹣2 ﹣2（舍棄），

∴MN=4 ﹣4，BM=BN=4﹣2 ，

∴△BMN的內(nèi)切圓半徑r= = =6﹣4

【解析】解：（1）如圖1中，作A′H⊥OB′于H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OC=BC=AB=2，∠BOC=45°=45，OB=2 ，

∵OA′=2，

∴AH=OH= ，

∴A′（ ， ），

∵旋轉(zhuǎn)角為45°，

∴B′在x軸上，

∴B′（2 ，0），

所以答案是A′（ ， ），B′（2 ，0）；