Question

已知拋物線，以M （-2，1）為直角頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接直角三角形MAB（即M，A，B均在拋物線上），求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：將一次函數(shù)與二次函數(shù)組成方程組，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立起系數(shù)與根的關(guān)系，又知兩直線垂直，可得比例系數(shù)之積為-1，列出關(guān)于x、y的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系將方程轉(zhuǎn)化為直線的解析式，再判斷其所過定點(diǎn)．
解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的解析式為y=kx+b，
由得x²-4kx-4b=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
∴，
…（3分），
∵AM⊥BM，
∴，
∴，
∴（y₁-1）（y₂-1）+（x₁+2）（x₂+2）=0…（5分），
∴x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
∴，
∴（b-3）²=4（k-1）²，
∴，
則b=2k+1或b=-2k+5，代入y=kx+b得，
∴，
∴，
∵x≠-2．
則直線AB的解析式為y=（x-2）k+5，且知過定點(diǎn)（2，5）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)及根與系數(shù)的關(guān)系，此題設(shè)計(jì)知識(shí)面廣，各種知識(shí)錯(cuò)綜復(fù)雜交織在一起，要有恒心和毅力并有足夠的經(jīng)驗(yàn)方可解答．