Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，點D在射線BC上運動時（與點B不重合），如圖，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為

 

，數(shù)量關(guān)系為

 

．請利用圖2或圖3予以證明（選擇一個即可）．

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．且AC=4

2

，BC=3，∠BCA=45°，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

分析：（1）首先選擇圖2證明，由AB=AC，∠BAC=90°，可得：△ABC是等腰直角三角形，又由四邊形ADEF是正方形，易證得△ABD≌△ACF（SAS），即可求得：CF=BD，∠ACF=∠B=45°，證得CF⊥BD；
（2）首先作輔助線：過點A作AG⊥BC，垂足為G，連接CF，易得：△AGD∽△DCP，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得：AG•CP=GD•DC，在等腰Rt△AGC中求得AC的值，設(shè)GD=x，即可求得CP關(guān)于x的二次函數(shù)，求得最大值．

解答：解：（1）CF⊥BD，CF=BD．
證明：選擇圖2證明：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B=45°，
∴∠BCF=90°，
∴CF⊥BD．

（2）如圖，過點A作AG⊥BC，垂足為G，連接CF．
∴∠AGD=90°，
∴∠ADG+∠GAD=90°，
∵CF⊥BD．
∴∠PCD=90°，
∴∠PDC+∠DPC=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADG+∠PDC=90°，
∴∠ADG=∠DPC，∠PDC=∠GAD，
∴△AGD∽△DCP，
∴

AG

DC

=

GD

CP

，
即AG•CP=GD•DC，
在等腰Rt△AGC中，
∵AC=4

2

，
∴AG=GC=4，
設(shè)GD=x，
則DC=4-x，
∵

AG

DC

=

GD

CP

，
∴

4

4-x

=

x

CP

，
∴CP=

1

4

x（4-x），
∴CP=-

1

4

x2+x，
當(dāng)x=2時，CP取得最大值，最大值為1．

點評：此題考查了全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)最大值問題．此題綜合性很強，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．