Question

如圖．直線y=-x+b（b＞0）與雙曲線y=（k＞0）交于A、B兩點，連接OA、OB，AM⊥y軸于點M． BN⊥x軸于點N，以下結(jié)論錯誤的是

1. A.
   OA=OB
2. B.
   △ABC≌△BON
3. C.
   當(dāng)AB=時，ON=BN=l
4. D.
   若∠AOB=45°，則S_△AOB=k

Answer 1

C
分析：首先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立y=-x+b與y=，得x²-bx+k=0，則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比較可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可證結(jié)論；
再利用作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)對稱性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S_△AOB=k；最后延長MA，NB交于G點，可證△ABG為等腰直角三角形，當(dāng)AB=時，GA=GB=1，則ON-BN=GN-BN=GB=1即可得出命題正確與否．
解答：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
聯(lián)立，得x²-bx+k=0，
則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，故此選項正確；
③作OH⊥AB，垂足為H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵②△AOM≌△BON，正確；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=k+k=k，故此選項正確；
④延長MA，NB交于G點，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG為等腰直角三角形，
當(dāng)AB=時，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，
∴ON=BN=l錯誤．
故選C．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，反比例函數(shù)圖象的對稱性．