Question

【題目】如圖，把△EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中，使得頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4 ， ∠BAD=60°，且AB＞4 ．

（1）求∠EPF的大小。
（2）若AP=6，求AE+AF的值。
（3）若△EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

過點P作PG⊥EF于G，

∵PE=PF，

∴FG=EG=EF=2，∠FPG=∠EPG=∠EPF，

在△FPG中，sin∠FPG===，

∴∠FPG=60°，

∴∠EPF=2∠FPG=120°

（2）

解：如圖2，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，DC=BC，

在△ABC與△ADC中，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠DAC=∠BAC，

∴PM=PN，

在Rt△PME于Rt△PNF中，

∴Rt△PME≌Rt△PNF，

∴FN=EM，在Rt△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=APcos30°=3，同理AN=3，

∴AE+AF=（AM﹣EM）+（AN+NF）=6；

（3）

解：如圖3，當EF⊥AC，點P在EF的右側(cè)時，AP有最大值，

當EF⊥AC，點P在EF的左側(cè)時，AP有最小值，

設(shè)AC與EF交于點O，

∵PE=PF，

∴OF=EF=2，

∵∠FPA=60°，

∴OP=2，

∵∠BAD=60°，

∴∠FAO=30°，

∴AO=6，

∴AP=AO+PO=8，

同理AP′=AO﹣OP=4，

∴AP的最大值是8，最小值是4．

【解析】（1）過點P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，證明△ABC≌△ADC，Rt△PME≌Rt△PNF，問題即可得證；
（3）如圖3，當EF⊥AC，點P在EF的右側(cè)時，AP有最大值，當EF⊥AC，點P在EF的左側(cè)時，AP有最小值解直角三角形即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．