Question

【題目】已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，過(guò)點(diǎn)D作DB⊥MN于點(diǎn)B，連接CB.

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖①過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，與MN交于點(diǎn)E，則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為 ；BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為 .

（2）拓展探究

當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖②位置時(shí)，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并證明.

（3）解決問(wèn)題

當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖③位置時(shí)（點(diǎn)C，D在直線MN兩側(cè)），若此時(shí)∠BCD=30°，BD=2，則CB= .

Answer 1

【答案】（1）BD=AE，；（2），見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，得到∠BCD=∠ACE，判斷出△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形即可．

（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，判斷出△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出△ACE≌△BCD，CE=BC，得到△BCE為等腰直角三角形，得到，求出BH，再用勾股定理即可．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°-∠ACB，∠BCD=90°-∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴在四邊形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，

∴∠BAC+∠D=180°，

∵∠CAE+∠BAC=180°，

∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

，

∴BE=AE+AB=DB+AB，

，

故答案為：BD=AE，；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

，

，

；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°-∠DCE，

∠BCD=90°-∠DCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠CFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

，

，

，

∵△BCE為等腰直角三角形，

∴∠BEC=∠CBE=45°，

∵∠ABD=90°，

∴∠DBH=45°

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，

∴△DHB是等腰直角三角形，

，

，

在Rt△CDH中，，

，

，

故答案為：.