Question

正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°.將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM.

（1）求證：EF=FM

（2）當AE=1時，求EF的長．

 

Answer 1

【答案】

(1)∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM

∴DE=DM     ∠EDM=90°

∴∠EDF + ∠FDM=90°

∵∠EDF=45°

∴∠FDM =∠EDM=45°

∵  DF= DF

∴△DEF≌△DMF

∴  EF=MF   …

（2） 設EF=x     ∵AE=CM=1      

∴ BF=BM-MF=BM-EF=4-x 

∵ EB=2

在Rt△EBF中，由勾股定理得

即

      解之，得　 

【解析】（1）由折疊可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；

（2）由第一問的全等得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長．