Question

4．閱讀材料：黑白雙雄，縱橫江湖，雙劍合璧，天下無敵，這是武俠小說中的常見描述，其意指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這樣相輔相成的例子．
如（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）=2²-（-$\sqrt{3}$）²=1，（$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）=（$\sqrt{5}$）²-（$\sqrt{2}$）²=3，它們的積是有理數(shù)，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理數(shù)因素．于是，我們可以將下面的式子化簡：
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$=2+$\sqrt{3}$
解決問題：
（1）4+$\sqrt{7}$的一個有理化因式是4-$\sqrt{7}$．
（2）計算：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2015}}$．

Answer 1

分析 （1）寫出原式的一個有理化因式即可；
（2）原式各項分母有理化后，計算即可得到結果．

解答 解：（1）4+$\sqrt{7}$的一個有理化因式是4-$\sqrt{7}$；
故答案為：4-$\sqrt{7}$；
（2）原式=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{2017}$-$\sqrt{2015}$）=$\frac{\sqrt{2017}-1}{2}$．

點評 此題考查了分母有理化，正確選擇兩個二次根式，使它們的積符合平方差公式是解答問題的關鍵．