Question

14．已知，點B、C是雙曲線y=$\frac{4}{x}$在第一象限分支上的兩點，點A在x軸正半軸上，△AOB為等腰直角三角形，∠B=90°，AC垂直于x軸．
（1）求點C的坐標；
（2）點D為x軸上一點，當△BCD為等腰三角形時，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）過點B作BH⊥OA于點H，根據(jù)△AOB是等腰直角三角形得出BH=OH=$\frac{1}{2}$OA．設B（a，a）（a＞0），由點B在雙曲線y=$\frac{4}{x}$上求出a的值，故可得出B點坐標，進而可得出A點坐標，設C（4，y）．根據(jù)點C在雙曲線上即可得出y的值；
（2）設D（x，0），用x表示出BC²，BD²，CD²的值，再分BC=BD，BC=CD或BD=CD三種情況進行討論即可．

解答 解：（1）過點B作BH⊥OA于點H，
∵△AOB是等腰直角三角形，∠B=90°，
∴BH=OH=$\frac{1}{2}$OA．
∵點B在第一象限，
∴設B（a，a）（a＞0）．
∵點B在雙曲線y=$\frac{4}{x}$上，
∴a²=4，
∴a=2或a=-2（不合題意，舍去），
∴B（2，2），
∴A（4，0）．
∵AC⊥x軸，
∴設C（4，y），
∵點C在雙曲線y=$\frac{4}{x}$上，
∴C（4，1）；

（2）∵設D（x，0），
∴BC²=5，BD²=x²-4x+8，CD²=x²-8x+17，
當△BCD是等腰直角三角形時，BC=BD，BC=CD或BD=CD．
當BC=BD，即BC²=BD²時，x²-4x+8=5，解得x=1或x=3，
∴D（1，0）或（3，0）；
當BC=CD，即BC²=CD²時，x²-8x+17=5，解得x=2或x=6，
當D（6，0）時，BC=CD=$\sqrt{5}$，BD=2$\sqrt{5}$，
∴BC+CD=BD，不能構成三角形，
∴x=6不合題意，
∴D（2，0）；
當BD=CD，即BD²=CD²，x²-4x+8=x²-8x+17，解得x=$\frac{9}{4}$，
∴D（$\frac{9}{4}$，0）．
綜上所述，D（1，0），（3，0），（2，0），（$\frac{9}{4}$，0）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點、等腰直角三角形的性質等知識，在解答（2）時要注意進行分類討論．