Question

（2013•河北一模）如圖，已知直線y=x+4與兩坐???軸分別交于A、B兩點(diǎn)，⊙C的圓心坐標(biāo)為 （2，O），半徑為2，若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值和最大值分別是

8-2

2

和8+2

2

．

Answer 1

分析：求出OA、OB值，根據(jù)已知得出求出BE的最大值和最小值即可，過(guò)A作⊙C的兩條切線，連接OD′，OD，求出AC，根據(jù)切線性質(zhì)設(shè)E′O=E′D′=x，根據(jù)sin∠CAD′=

OE′

AE′

，代入求出x，即可求出BE的最大值和最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答：解：y=x+4，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，
∴OA=4，OB=4，
∵△ABE的邊BE上的高是OA，
∴△ABE的邊BE上的高是4，
∴要使△ABE的面積最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，
過(guò)A作⊙C的兩條切線，如圖，
當(dāng)在D點(diǎn)時(shí)，BE最小，即△ABE面積最�。�
當(dāng)在D′點(diǎn)時(shí)，BE最大，即△ABE面積最大；
∵x軸⊥y軸，OC為半徑，
∴EE′是⊙C切線，
∵AD′是⊙C切線，
∴OE′=E′D′，
設(shè)E′O=E′D′=x，
∵AC=4+2=6，CD′=2，AD′是切線，
∴∠AD′C=90°，由勾股定理得：AD′=4

2

，
∴sin∠CAD′=

D′C

AC

=

OE′

AE′

，
∴

2

6

=

x

4 2 -x

，
解得：x=

2

，
∴BE′=4+

2

，BE=4-

2

，
∴△ABE的最小值是

1

2

×（4-

2

）×4=8-2

2

，
最大值是：

1

2

×（4+

2

）×4=8+2

2

，
故答案為：8-2

2

和8+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，三角形的面積，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是找出符合條件的D的位置，題目比較好，有一定的難度．