Question

（2012•洛陽(yáng)二模）如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

1

2

，8），直線y=-x+b與該反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)P與點(diǎn)Q（4，m）．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)所給條件，請(qǐng)直接寫出當(dāng)x＞0時(shí)不等式-x+b＜

k

x

的解集

0＜x＜1或x＞4

；
（3）設(shè)該直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連結(jié)OP、OQ，求△OPQ的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象上的點(diǎn)來(lái)求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖象可直接寫出解集；
（3）分別求出A、B、P坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△OPQ=S_△ABO-S_△POB-S_△QOA即可求出面積．

解答：解：（1）反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

1

2

，8），
把點(diǎn)代入可得：k=xy=

1

2

×8=4，
故反比例函數(shù)解析式為：y=

4

x

，
∵點(diǎn)Q是直線y=-x+b與該反比例函數(shù)的交點(diǎn)，
∴m=

4

4

=1，
則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，1），
把點(diǎn)Q代入直線解析式得：1=-4+b，
解得：b=5，
故直線的解析式為：y=-x+5；

（2）由圖可知，解集為：0＜x＜1或x＞4；

（3）根據(jù)直線解析式：y=-x+5，
可得直線與x軸y軸的交點(diǎn)分別為：A（5，0），B（0，5），
聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式，

y= 4 x y=-x+5

，
解得：

x=1 y=4

或

x=4 y=1

，
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
過P作PE垂直y軸于E，過Q作QF垂直x軸于F，
則S_△OPQ=S_△ABO-S_△POB-S_△QOA=

1

2

×OA•OB-

1

2

×OB•PE-

1

2

×OA×QF=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1=

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式和根據(jù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)．