Question

【題目】如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M，連接AM，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)；（3）或或．

【解析】

(1）要求拋物線的解析式，先根據(jù)一次函數(shù)求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；（2）要求當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)，首先過(guò)點(diǎn)E作軸，交直線BC于點(diǎn)G，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后表示出EG的長(zhǎng)，利用三角形面積公式及二次函數(shù)的最值即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）要求使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)，分三種情況：①以AM為邊時(shí)，四邊形AMQP是平行四邊形；②以AM為邊，四邊形AMPQ是平行四邊形；③以AM為對(duì)角線時(shí)，四邊形APMQ是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的特征，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，

把和代入拋物線中得：解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）如解圖①，過(guò)點(diǎn)E作軸，交直線BC于點(diǎn)G．

圖①

設(shè)，則，

∴，

∴，∵，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，∴此時(shí)；

（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是或或．

[解法提示]

，

對(duì)稱軸是直線，∴，

∵點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，

在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

①如解圖②，以AM為邊時(shí)，四邊形AMQP是平行四邊形，由（2）可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，

∵點(diǎn)M在直線上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是，又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)M到點(diǎn)Q的平移規(guī)律可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∴；

②如解圖③，以AM為邊時(shí)，四邊形AMPQ是平行四邊形，

由（2）可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，

∵，且點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，

根據(jù)點(diǎn)A到點(diǎn)Q的平移規(guī)律可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∴；

圖② 圖③

③如解圖④，以AM為對(duì)角線時(shí)，四邊形APMQ是平行四邊形，根據(jù)點(diǎn)M到點(diǎn)Q的平移規(guī)律可得點(diǎn)P到點(diǎn)A的平移規(guī)律可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∴；

圖④

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是或或．