Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點(diǎn)E在CD上，DE=1，點(diǎn)F是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊作Rt△EFP．若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，則AF的值是________.

Answer 1

【答案】0或1＜AF＜ 或4.

【解析】

先根據(jù)圓周角定理確定點(diǎn)P在以EF為直徑的圓O上，且是與矩形ABCD的交點(diǎn)，當(dāng)F與A和B重合時(shí)，有兩個(gè)直角三角形，都符合條件，即AF=0或4，再找⊙O與AD和BC相切時(shí)AF的長，此時(shí)⊙O與矩形邊各有一個(gè)交點(diǎn)或三個(gè)交點(diǎn)，在之間運(yùn)動(dòng)過程中符合條件，確定AF的取值.

解：以EF為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P是以EF為直徑的圓與矩形邊的交點(diǎn), 取EF的中點(diǎn)O,

(1) 如圖1, 當(dāng)圓O與AD相切于點(diǎn)G時(shí), 連結(jié)OG, 此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)P重合,只有一個(gè)點(diǎn), 此時(shí)AF=OG=DE=1;

(2) 如圖2,

當(dāng)圓O與BC相切于點(diǎn)G, 連結(jié)OG,EG, FG, 此時(shí)有三個(gè)點(diǎn)P可以構(gòu)成Rt△EFP,

∵OG是圓O的切線,∴OG⊥BC

∴OG∥AB∥CD

∵OE=OF,

∴BG=CG,∴OG= (BF+CE),

設(shè)AF=x, 則BF=4-x, OG= (4-x+4-1)= (7-x)

則EF=2OG=7-x, EG=EC+CG=9+1=10,FG=BG+BF=1+(4-x) ，

在Rt△EFG中, 由勾股定理得EF=EG+FG ,

得(7-x) =10+1+(4-x)2,解得x= ，

所以當(dāng)1<AF<時(shí),以EF為直徑的圓與矩形ABCD的交點(diǎn) (除了點(diǎn)E和F) 只有兩個(gè);

(3)因?yàn)辄c(diǎn)F是邊AB上一動(dòng)點(diǎn):

當(dāng)點(diǎn)F與B點(diǎn)重合時(shí), AF=4, 此時(shí)Rt△EFP正好有兩個(gè)符合題意，如圖3;

故答案為0或1＜AF＜ 或4.