【題目】兩塊等腰直角三角形紙片AOBCOD按圖1所示放置,直角頂點重合在點O處,AB=25,CD=17.保持紙片AOB不動,將紙片COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<90°)角度,如圖2所示.

1)利用圖2證明AC=BDACBD

2)當(dāng)BDCD在同一直線上(如圖3)時,求AC的長和α的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2)AC=7,

【解析】試題分析:(1)圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)以后,明確沒有變化的邊長,根據(jù)全等三角形的判定定理證明圖中的△COA≌△DOB,從而證明AC=BD,做輔助△ABE,證明∠AEB=90°,從而得到AC⊥BD;

(2)在△COA中,根據(jù)余弦定理,得出cosα的值,從而求出sinα的值.

試題解析:(1)如圖2中,延長BDOAG,交ACE.

∵∠AOB=∠COD=90°,

∴∠AOC=∠DOB,

AOCBOD中, ,

∴△AOC≌△BOD,

∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,

∵∠DBO+∠GOB=90°,

∵∠OGB=∠AGE,

∴∠CAO+∠AGE=90°,

∴∠AEG=90°,

∴BD⊥AC.

(2)如圖3中,設(shè)AC=x,

∵BD、CD在同一直線上,BD⊥AC,

∴△ABC是直角三角形,

∴AC2+BC2=AB2,

∴x2+(x+17)2=252,

解得x=7,

∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°,∠ABC+∠DBO=45°,

∴∠α=∠ABC,

sinα=sinABC==

練習(xí)冊系列答案
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