Question

已知拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c均不為0）的頂點為P，與y軸的交點是M．我們稱以M為頂點，且過點P的拋物線為拋物線L的“伴隨拋物線”，直線PM為L的“伴隨直線”．
（1）請直接寫出拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的解析式

y=-2x²+1

，伴隨直線的解析式

y=-2x+1

；
（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x²-3和y=-x-3，則這條拋物線的解析式是

y=x²-2x-3

；
（3）求拋物線y=ax²+bx+c（其中a、b、c均不為0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）先求出已知拋物線的頂點P的坐標和與y軸的交點M的坐標，然后設伴隨拋物線的頂點式解析式，再把點P的坐標代入求解即可；利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求伴隨直線解析式；
（2）求出伴隨拋物線的頂點坐標，即點M的坐標，再聯(lián)立伴隨拋物線與伴隨直線求出點P的坐標，然后設拋物線的頂點式解析式，把點M代入求解即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的一般形式寫出頂點P的坐標，與y軸的交點M的坐標，再根據(jù)伴隨拋物線的定義設出拋物線的頂點式解析式，把點P的坐標代入求解即可得到伴隨拋物線解析式；再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求伴隨直線的解析式即可．

解答：解：（1）∵y=2x²-4x+1=2（x²-1）-1，
∴頂點坐標為P（1，-1），
令x=0，則y=1，
所以，點M（0，1），
∴伴隨拋物線的頂點是（0，1），經過點（1，-1），
設伴隨拋物線的解析式為y=ax²+1，
則a+1=-1，
解得a=-2，
所以，伴隨拋物線的解析式為y=-2x²+1，
設伴隨直線為y=kx+b，
則

b=1 k+b=-1

，
解得

k=-2 b=1

，
所以，伴隨直線解析式為y=-2x+1；

（2）y=-x²-3的頂點坐標為（0，-3），
所以，點M（0，-3），
聯(lián)立

y=-x-3 y=-x2-3

，
解得

x1=0 y1=-3

（為點M），

x2=1 y2=-4

，
所以，點P（1，-4），
設拋物線解析式為y=a（x-1）²-4，
則a（0-1）²-4=-3，
解得a=1，
所以，拋物線解析式為y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
即拋物線解析式為y=x²-2x-3；
故答案為：（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；（2）y=x²-2x-3；

（3）伴隨拋物線的頂點是（0，c），
∵設它的解析式為y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此拋物線過P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴=m•（-

b

2a

）²+c，
解得m=-a，
∴伴隨拋物線解析式為y=-ax²+c；
設伴隨直線解析式為y=kx+c（k≠0），
P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在此直線上，
∴

4ac-b2

4a

=-

b

2a

k+c，
∴k=

b

2

，
∴伴隨直線解析式為y=

b

2

x+c．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，讀懂題目信息，理解伴隨拋物線的定義，伴隨直線的定義是解題的關鍵．