Question

【題目】如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M，且∠FEM＝∠FME．

（1）直線AB與直線CD是否平行，說(shuō)明你的理由；

（2）如圖2，點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F重合），EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．

①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若β＝60°，求α的度數(shù)；

②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD，理由見(jiàn)解析；（2）①30°；②α＝β，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及等量代換證明∠AEM＝∠FME即可．
（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)求∠BEG，利用平角的定義求出∠AEG的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠HEN即可解決問(wèn)題．
②結(jié)論：α=β．根據(jù)平行線的性質(zhì)求∠BEG，利用平角的定義表示∠AEG的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義表示∠HEN即可解決問(wèn)題．

（1）結(jié)論：AB∥CD．

理由：如圖1中，

∵EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M，

∴∠AEM＝∠MEF，

∵∠FEM＝∠FME．

∴∠AEM＝∠FME，

∴AB∥CD．

（2）①如圖2中，

∵AB∥CD，

∴∠BEG＝∠EGF＝β＝60°

∴∠AEG＝120°，

∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF

∴∠HEF＝∠HEG，∠AEM＝∠MEF

∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝60°，

∵HN⊥EM，

∴∠HNE＝90°，

∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°．

②猜想：α＝β．

理由：∵AB∥CD，

∴∠BEG＝∠EGF＝β，

∴∠AEG＝180°﹣β，

∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF

∴∠HEF＝∠HEG，∠AEM＝∠MEF

∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝90°﹣β

∵HN⊥EM，

∴∠HNE＝90°，

∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝β．