如圖①,已知二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx(a>0),頂點(diǎn)為A(1,-1).
(1)a= ;
(2)若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的二次函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng),連結(jié)OP,交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)B,點(diǎn)B關(guān)于頂點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,連接PC、OC,求證:∠PCB=∠OCB;
(3)如圖②,將拋物線(xiàn)沿直線(xiàn)y=-x作n次平移(n為正整數(shù),n≤12),頂點(diǎn)分別為A1,A2,…,An,橫坐標(biāo)依次為1,2,…,n,各拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)分別為D1,D2,…,Dn,以線(xiàn)段AnDn為邊向右作正方形AnDnEnFn,是否存在點(diǎn)Fn恰好落在其中的一個(gè)拋物線(xiàn)上,若存在,求出所有滿(mǎn)足條件的正方形邊長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)1;(2)證明見(jiàn)解析;(3)2,6.
解析試題分析:(1)直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而代入求出即可;
(2)根據(jù)題意得出,,進(jìn)而得出△ODC∽△PHC,求出即可;
(3)由題意得出:A1(1,-1),A2(2,-2),A3(3,-3),…An(n,-n),進(jìn)而得出F1(2,-1),F(xiàn)2(4,-2),F(xiàn)3(6,-3),…Fn(2n,-n)..,即可分類(lèi)討論得出n的值.
試題解析:(1)解:∵二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx(a>0),頂點(diǎn)為A(1,-1),
∴,
解得:.
(2)證明:由(1)得,拋物線(xiàn)的解析式為:y=x2-2x,
設(shè)P(m,m2-2m),則直線(xiàn)OP的解析式為:y=(m-2)x,
∴B(1,m-2),∴C(1,-m),
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CD于點(diǎn)H,則PH=m-1,CH=m2-m,
∴,,
∵∠ODC=∠PHC,
∴△ODC∽△PHC,
∴∠PCB=∠OCB;
(3)解:由題意得出:A1(1,-1),A2(2,-2),A3(3,-3),…An(n,-n),
∴F1(2,-1),F(xiàn)2(4,-2),F(xiàn)3(6,-3),…Fn(2n,-n)…
若Fn恰好落在其中的第m個(gè)拋物線(xiàn)上(m為正整數(shù),m≤12),
則該拋物線(xiàn)解析式為:y=(x-m)2-m,
將Fn代入得:-n=(2n-m)2-m,
即(2n-m)2=m-n,
∴m-n是一個(gè)平方數(shù),只能是0,1,4,9,
當(dāng)m-n=0時(shí),2n-m=0,∴m=n=0(舍去);
當(dāng)m-n=1時(shí),2n-m=1或-1,∴n=2或0(舍去);
當(dāng)m-n=4時(shí),2n-m=2或-2,∴n=2或6;
當(dāng)m-n=9時(shí),2n-m=3或-3,∴n=6(舍去)或12(舍去).
綜上所述,正方形邊長(zhǎng)n的值可以是2,6.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
為深化“攜手節(jié)能低碳,共建碧水藍(lán)天”活動(dòng),發(fā)展“低碳經(jīng)濟(jì)”,某單位進(jìn)行技術(shù)革新,讓可再生資源重新利用.今年1月份,再生資源處理量為40噸,從今年1月1日起,該單位每月再生資源處理量每一個(gè)月將提高10噸.月處理成本(元)與月份之間的關(guān)系可近似地表示為:,每處理一噸再生資源得到的新產(chǎn)品的售價(jià)定為100元.若該單位每月再生資源處理量為y(噸),每月的利潤(rùn)為w(元).
(1)分別求出y與x,w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在今年內(nèi)該單位哪個(gè)月獲得利潤(rùn)達(dá)到5800元?
(3)隨著人們環(huán)保意識(shí)的增加,該單位需求的可再生資源數(shù)量受限.今年三月的再生資源處理量比二月份減少了m%,該新產(chǎn)品的產(chǎn)量也隨之減少,其售價(jià)比二月份的售價(jià)增加了%.四月份,該單位得到國(guó)家科委的技術(shù)支持,使月處理成本比二月份的降低了%.如果該單位四月份在保持三月份的再生資源處理量和新產(chǎn)品售價(jià)的基礎(chǔ)上,其利潤(rùn)比二月份的利潤(rùn)減少了60元,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,拋物線(xiàn)與交于點(diǎn)A(1,3),過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線(xiàn),分別交兩條拋物線(xiàn)于點(diǎn)B,C.下列結(jié)論:①;②時(shí),;③平行于x軸的直線(xiàn)與兩條拋物線(xiàn)有四個(gè)交點(diǎn);④2AB=3AC.其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某賓館有30個(gè)房間供游客住宿,當(dāng)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)為每天120元時(shí),房間會(huì)全部住滿(mǎn).當(dāng)每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)有一個(gè)房間空閑.賓館需對(duì)游客居住的每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用.根據(jù)規(guī)定,每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)不得高于210元.設(shè)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)增加x元(x為10的正整數(shù)倍).
(1)設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(2)設(shè)賓館一天的利潤(rùn)為w元,求w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)一天訂住多少個(gè)房間時(shí),賓館的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5時(shí)內(nèi)其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)與時(shí)間(時(shí))的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)刻畫(huà);1.5時(shí)后(包括1.5時(shí))y與x可近似地用反比例函數(shù)(k>0)刻畫(huà)(如圖所示).
(1)根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計(jì)算:
①喝酒后幾時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值?最大值為多少?
②當(dāng)=5時(shí),y=45.求k的值.
(2)按國(guó)家規(guī)定,車(chē)輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時(shí)屬于“酒后駕駛”,不能駕車(chē)上路.參照上述數(shù)學(xué)模型,假設(shè)某駕駛員晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否駕車(chē)去上班?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知直線(xiàn)AB:與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn),
(1)直線(xiàn)AB總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)C,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C坐標(biāo);
(2)當(dāng)時(shí),在直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上求點(diǎn)P,使△ABP的面積等于5;
(3)若在拋物線(xiàn)上存在定點(diǎn)D使∠ADB=90°,求點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的最大距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,已知兩點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),以AB為直徑的半圓P交y軸于點(diǎn)C.
(1)求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式;
(2)設(shè)弦AC的垂直平分線(xiàn)交OC于D,連接AD并延長(zhǎng)交半圓P于點(diǎn)E,與相等嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)點(diǎn)M為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),OM=AE,是否存在過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn),使該直線(xiàn)與(1)中所得的拋物線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等?若存在,求出這條直線(xiàn)對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式;若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(11分)如圖,已知拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(4,5)兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸,垂足為C.
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)求tan∠ABO的值;
(3)點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn),直線(xiàn)MN平行于y軸交直線(xiàn)AB于N,如果以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)y=﹣x+n與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn),拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)過(guò)C、B兩點(diǎn),交x軸于另一點(diǎn)A,連接AC,且tan∠CAO=3.
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)若點(diǎn)P是射線(xiàn)CB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn),垂足為H,交拋物線(xiàn)于Q,設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t,線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為d,求出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上時(shí),設(shè)PH=e,已知d,e是以y為未知數(shù)的一元二次方程:y2-(m+3)y+(5m2-2m+13)="0" (m為常數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上,連接MQ、MH、PM,且.MP平分∠QMH,求出t值及點(diǎn)M的坐標(biāo).
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