如圖,直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(12,0),以AB為直徑作⊙P與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),其頂點(diǎn)為M點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)D是拋物線與⊙P的第四個(gè)交點(diǎn)(除A、B、C三點(diǎn)以外),求直線MD的解析式;
(3)判定(2)中的直線MD與⊙P的位置關(guān)系,并說明理由.
(1)連接PC,
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(12,0),
∴AB=15,
∴AP=BP=PC=7.5,
∴OP=7.5-3=4.5,
∴OC=
PC2-OP2
=6,
∴C(0,-6)
把A(-3,0),B(12,0),C(0,6)代入y=ax2+bx+c得:
C=-6
0=9a-3b+c
0=144a+12b+c
,
解得:
a=
1
6
b=-
3
2
c=-6
,
∴y=
1
6
x2-
3
2
x-6;

(2)∵y=
1
6
x2-
3
2
x-6=
1
6
(x-
9
2
)x2-
75
8
;
∴M(
9
2
,-
75
8
),
∵P是圓的圓心,
∴PM是圓的對(duì)稱軸,PM是拋物線的對(duì)稱軸,
∵C(0,-6),
∴D(9,-6),
設(shè)直線MD的解析式y(tǒng)=kx+b,把D(9,-6)和M(
9
2
,-
75
8
)代入得:
-6=9k+b
-
75
8
=
9
2
k+b
,
解得:
k=
3
4
b=-
51
4
,
∴y=
3
4
x-
51
4


(3)設(shè)直線DM和x軸交于E,連接PM,則PM⊥OE,過P作PD′⊥ME于D′,
設(shè)y=0,則y=
3
4
x-
51
4
=0,
∴x=17,
∴OE=17,∴E(17,0),
∴PE=17-4.5=12.5,
∵PM=
75
8

∴ME=
PE2+PM2
=
125
8
,
1
2
PM•PE=
1
2
PD′•EM,
∴PD′=
15
2
=7.5,
∴PD′等于圓的半徑,
∴直線MD與⊙P的位置關(guān)系是相切.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,0).問:直線AC上是否存在點(diǎn)F,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知頂點(diǎn)為P的拋物線y=
1
2
x2+bx+c
經(jīng)過點(diǎn)A(-3,6),并x軸交于B(-1,0),C兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求四邊形ABPC的面S;
(3)試判斷四邊形ABPC的形狀,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象如圖所示,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,-4).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個(gè)新的圖象,請(qǐng)你結(jié)合新圖象回答:當(dāng)直線y=x+n與這個(gè)新圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求n的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E.
(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)如圖,過點(diǎn)E作BC平行線,交x軸于點(diǎn)F,在不添加線和字母情況下,圖中面積相等的三角形有:______;
(3)將拋物線向下平移,與x軸交于點(diǎn)M、N,與y軸的正半軸交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)為Q.在四邊形MNQP中滿足S△NPQ=S△MNP,求此時(shí)直線PN的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=ax2-2ax+c-1的頂點(diǎn)在直線y=-
8
3
x+8
上,與x軸相交于B(α,0)、C(β,0)兩點(diǎn),其中α<β,且α22=10.
(1)求這個(gè)拋物線的解析式;
(2)設(shè)這個(gè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為P,H是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過H作HKPB,交PC于K,連接PH,記線段BH的長(zhǎng)為t,△PHK的面積為S,試將S表示成t的函數(shù);
(3)求S的最大值,以及S取最大值時(shí)過H、K兩點(diǎn)的直線的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在直角坐標(biāo)系中,拋物線y=
4
9
x2+
2
9
mx+
5
9
m+
4
3
與x軸交于A,B兩點(diǎn),已知點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)B在x軸的正半軸上,且BO=2AO,點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式和經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的直線的解析式;
(2)點(diǎn)P在此拋物線的對(duì)稱軸上,且⊙P與x軸、直線BC都相切.求點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,兩條拋物線y1=-
1
2
x2+1,y2=-
1
2
x2-1
與分別經(jīng)過點(diǎn)(-2,0),(2,0)且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為( 。
A.8B.6C.10D.4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B.
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)寫出該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案