如圖,已知拋物線C1:y=a(x-2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-1.
(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱,將拋物線C2向左平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱時(shí),求C3的解析式y(tǒng)=a(x-h)2+k;
(3)如圖(2),點(diǎn)Q是x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn),將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點(diǎn)為N,與x軸相交于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),當(dāng)以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求頂點(diǎn)N的坐標(biāo).
分析:(1)根據(jù)函數(shù)的解析式可得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-5),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,可得出a的值;
(2)連接PM,作PH⊥x軸于H,作MG⊥x軸于G,先判斷△PAH≌△MAG,繼而得出點(diǎn)M的坐標(biāo),代入可得出C3的解析式.
(3)設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(m,5),作PH⊥x軸于H,作NG⊥x軸于G,作PR⊥NG于R,根據(jù)中心對(duì)稱的知識(shí)可得出點(diǎn)E、H、R的坐標(biāo),分別表示出PN2、PE2、NE2,討論即可得解.
解答:解:(1)由拋物線C1:y=a(x-2)2-5得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-5);
∵點(diǎn)A(-1,0)在拋物線C1上,
∴a(-3)2-5=0,
解得:a=
5
9


(2)連接PM,作PH⊥x軸于H,作MG⊥x軸于G,
∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱,
∴PM過點(diǎn)A,且PA=MA,
∴△PAH≌△MAG,
∴MG=PH=5,AG=AH=3.
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,5),
∵拋物線C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱,拋物線C3由C2平移得到,
∴拋物線C3的表達(dá)式y=-
5
9
(x+4)2+5


(3)∵拋物線C4由C1繞x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到,
∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱,
由(2)得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5,
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(m,5),作PH⊥x軸于H,作NG⊥x軸于G,作PR⊥NG于R,
∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上,
∴EF=AB=2AH=6,
∴EG=3,點(diǎn)E坐標(biāo)為(m-3,0),H坐標(biāo)為(2,0),R坐標(biāo)為(m,-5),
根據(jù)勾股定理,得PN2=NR2+PR2=m2-4m+104,PE2=PH2+HE2=m2-10m+50,NE2=52+32=34,
①當(dāng)∠PNE=90°時(shí),PN2+NE2=PE2,
解得m=-
44
3
,即N點(diǎn)坐標(biāo)為(-
44
3
,5).
②當(dāng)∠PEN=90°時(shí),PE2+NE2=PN2,
解得m=-
10
3
,即N點(diǎn)坐標(biāo)為(-
10
3
,5).
③∵PN>NR=10>NE,
∴∠NPE≠90°;
綜上所得,當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為(-
44
3
,5)或(-
10
3
,5)時(shí),以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.
點(diǎn)評(píng):此題屬于二次函數(shù)的綜合題,涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換,難點(diǎn)在第三問,關(guān)鍵是得出點(diǎn)E、點(diǎn)H、點(diǎn)R的坐標(biāo),表示出直角三角形PEN三邊的平方,然后討論得出答案,難度較大.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1.
(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí),求C3的解析式;
(3)如圖(2),點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn),將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點(diǎn)為N,與x軸相交于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線c1:y=-
14
x2+bx+c
與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線c2與拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱,點(diǎn)A、B的對(duì)稱點(diǎn)分別是E、D,連接CD、CB,設(shè)AD=m.
(1)拋物線c2可以看成拋物線c1向右平移
m
m
個(gè)單位得到.
(2)若m=2,求b的值.
(3)將△CDB沿直線BC折疊,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,且四邊形CDBG是平行四邊形,
①△CDB為
等邊
等邊
三角形(按邊分);
②若點(diǎn)G恰好落在拋物線c2上,求m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B精英家教網(wǎng)的左側(cè)),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1;
(1)求a的值;
(2)如圖,拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,拋物線C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí),求拋物線C3的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C1y=
12
x2
,把它平移后得拋物線C2,使C2經(jīng)過點(diǎn)A(0,8),且與拋物線C1交于點(diǎn)B(2,n).在x軸上有一點(diǎn)P,從原點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸正半軸的方向移動(dòng),設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒,過點(diǎn)P作x軸的垂線l,分別交拋物線C1、C2于E、D,當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B前停止運(yùn)動(dòng),以DE為邊在直線l左側(cè)畫正方形DEFG.
(1)判斷拋物線C2的頂點(diǎn)是否在x軸上,并說明理由;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),正方形DEFG在y軸右側(cè)的部分的面積S有最大值?最大值為多少?
(3)設(shè)M為正方形DEFG的對(duì)稱中心.當(dāng)t為何值時(shí),△MOP為等腰三角形?

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