Question

問：你能比較兩個數(shù)2008²⁰⁰⁹和2009²⁰⁰⁸的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先把它抽象成數(shù)學問題，寫出它的一般形式，比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小（n為正整數(shù)），從分析n=1，n=2，n=3…的情形入手，通過歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想出結論．
（1）比較各組數(shù)的大�、�1²和2¹；②2³和3²；③3⁴和4³；④4⁵和5⁴
（2）由（1）猜想出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關系是

 

；
（3）由（2）可知：2008²⁰⁰⁹

 

 2009²⁰⁰⁸．

Answer 1

考點：實數(shù)大小比較

專題：規(guī)律型

分析：（1）利用乘方的定義分別計算出各組數(shù)，然后比較大��；
（2）利用（1）的計算結果，分類討論；
（3）利用（2）的結果求解．

解答：解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³；
④4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴；
（2）當n≤3的正整數(shù)時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n＞3的正整數(shù)時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
（3）2008²⁰⁰⁹＞2009²⁰⁰⁸．
故答案為當n≤3的正整數(shù)時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n＞3的正整數(shù)時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；＞．

點評：本題考查了實數(shù)的大小比較：任意兩個實數(shù)都可以比較大�。�正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而�。�