Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=-1，求該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若a=b=1，且當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍；
（Ⅲ）若此拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（1，0），C（3，0），在此拋物線上有一點(diǎn)P，使它到BC的距離為9

2

，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅳ）若a+b+c=0，且x₁=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的y₁＞0；x₂=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y₂＞0，試判斷當(dāng)0＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若沒(méi)有，闡述理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)，b，c的值代入可得拋物線的解析式，求出兩根即可；
（Ⅱ）把a(bǔ)，b代入解析式可得△=4-12c≥0，等于0時(shí)可直接求得c的值；求出y的相應(yīng)的值后可得c的取值范圍；
（Ⅲ）把點(diǎn)A（0，3），B（1，0），C（3，0）的坐標(biāo)分別代入已知拋物線y=3ax²+2bx+c，求出a，b，c的值，進(jìn)而得到拋物線的解析式，根據(jù)點(diǎn)BC與x軸重合可知直線l的解析式為y=±9

2

，再與拋物線的解析式聯(lián)立即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；         
（Ⅳ）拋物線y=3ax²+2bx+c與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是一元二次方程3ax²+2bx+c=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，因此，本題的解答就是研究在不同的條件下一元二次方程3ax²+2bx+c=0根的判別式的符號(hào)，依據(jù)判別式的符號(hào)得出相應(yīng)的結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=b=1，c=-1時(shí)，拋物線為y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的兩個(gè)根為x₁=-1，x₂=

1

3

，
∴該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0）和（

1

3

，0）；

（Ⅱ）當(dāng)a=b=1時(shí)，拋物線為y=3x²+2x+c，且與x軸有公共點(diǎn)．
對(duì)于方程3x²+2x+c=0，判別式△=4-12c≥0，有c≤

1

3

，
①當(dāng)c=

1

3

時(shí)，由方程3x²+2x+

1

3

=0，解得x1=x2=-

1

3

．
此時(shí)拋物線為y=3x²+2x+

1

3

=0與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)（-

1

3

，0），
②當(dāng)c＜

1

3

時(shí)，x₁=-1時(shí)，y₁=3-2+c=1+c，x₂=1時(shí)，y₂=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1時(shí)，該拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為x=-

1

3

，
應(yīng)有

y 1≤0 y 2＞0

，即

1+c≤0 5+c＞0

解得-5＜c≤-1．
綜上，c=

1

3

或-5＜c≤-1．    

（Ⅲ）把點(diǎn)A（0，3），B（1，0），C（3，0）的坐標(biāo)分別代入已知拋物線y=3ax²+2bx+c得：

3=c 0=3a+2b+c 0=27a+6b+c

，
解得：

a= 1 3 b=-2 c=3

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3，
∵直線BC與x軸重合，l到BC距離為9

2

的直線為y=9

2

或y=-9

2

（舍去），
所以可求得點(diǎn)P坐標(biāo)為：（1+

1+9 2

，9

2

）；
（Ⅳ）對(duì)于二次函數(shù)y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0時(shí)，y₁=c＞0；x₂=1時(shí)，y₂=3a+2b+c＞0，
又a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
于是2a+b＞0．而b=-a-c，∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0． 
∵關(guān)于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴拋物線y=3ax²+2bx+c與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在x軸下方．
又該拋物線的對(duì)稱軸x=-

b

3a

，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
得-2a＜b＜-a，
∴

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

．
又由已知x₁=0時(shí)，y₁＞0；x₂=1時(shí)，y₂＞0，觀察圖象，
可知在0＜x＜1范圍內(nèi)，該拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是一元二次方程根的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，以及二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題解決此類問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征來(lái)解決問(wèn)題．