Question

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題:如果AB=BC,∠ABC=60°,∠APC=30°,連接

PB，那么PA、PB、PC之間會(huì)有怎樣的等量關(guān)系呢？

經(jīng)過(guò)思考后，部分同學(xué)進(jìn)行了如下的交流：

小蕾：我將圖形進(jìn)行了特殊化，讓點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線上（如圖1），得到了一個(gè)猜想:

PA²+PC²=PB² .

小東：我假設(shè)點(diǎn)P在∠ABC的內(nèi)部，根據(jù)題目條件，這個(gè)圖形具有“共端點(diǎn)等線段”的特點(diǎn)，可以利用旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)△PAB 后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP′ 分別是等邊三角形、直角三角形，就能得到猜想和證明方法.

這時(shí)老師對(duì)同學(xué)們說(shuō)，請(qǐng)大家完成以下問(wèn)題：

（1）如圖2，點(diǎn)P在∠ABC的內(nèi)部，

①PA=4，PC=，PB=     .

②用等式表示PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）對(duì)于點(diǎn)P的其他位置，是否始終具有②中的結(jié)論？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)舉例說(shuō)明.

	圖1		圖2

Answer 1

（1）①；……………………………………………………………………………1分

②.   …………………………………………………………2分

證明：作∠PBP′＝∠ABC＝60°，且使BP′＝BP，連接P′C、P′P.  ……………3分

∴∠1＝∠2.

∵AB＝CB，

∴△ABP≌△CBP′.   …………………………4分

∴PA＝P′C，∠A＝∠BCP′.

在四邊形ABCP中，

∵∠ABC＝60°，∠APC＝30°，

∴∠A＋∠BCP＝270°.

∴∠BCP′＋∠BCP＝270°.

∴∠PCP′＝360°－(∠BCP′＋∠BCP)＝90°. ……………………………………5分

∵△PBP′是等邊三角形.

∴PP′＝PB.

在Rt△PCP′中，.……………………………………………6分

∴.

（2）點(diǎn)P在其他位置時(shí)，不是始終具有②中猜想的結(jié)論，舉例：

     如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

結(jié)論為.

（說(shuō)明：答案不惟一）

……………………………………………………………………………………………7分