Question

【題目】如圖，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，作CE⊥OB于點(diǎn)E，連結(jié)DE，點(diǎn)F在線段DE上，且EF=2DF，過點(diǎn)C的直線CG交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，且∠CGO=∠CDE．
（1）求證：CG與弧AB所在圓相切．
（2）當(dāng)點(diǎn)C在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△CFD的三條邊是否存在長(zhǎng)度不變的線段？若存在，求出該線段的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由．
（3）若∠CGD=60°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖：

，

∵點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，作CE⊥OB于點(diǎn)E，

∴∠CDO=∠CEO=90°，

∵∠DOE=90°，

∴ODCE是矩形，

∴∠CDE+∠EDO=90°，∠EDO=∠COD．

∵∠CGO=∠CDE，

∴∠CGO+COD=90°，

∴∠OCG=90°，

∵CG經(jīng)過半徑OC的外端，

∴CG是⊙O的切線，即CG與弧AB所在圓相切

（2）解：DF不變．

在矩形ODCE中，∵DE=OC=3，EF=2DF，∴DF= DE= OC=1，

DF的長(zhǎng)不變，DF=1

（3）解：∵∠CGD=60°，

∴∠COD=30°，

∴CD=OCsin∠COD= OC= ，OD=OCcos∠COD= OC= ，

圖中陰影部分的面積 ×π×32﹣ CDOD= ﹣

【解析】（1）根據(jù)矩形的判斷，可得OCDE的形狀，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得∠CDE+∠EDO=90°，∠EDO=∠COD，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠CGO+COD=90°，根據(jù)切線的判定，可得答案；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得CD的長(zhǎng)，根據(jù)EF與DF的關(guān)系，可得DF的長(zhǎng)；（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得CD、OD的長(zhǎng)，根據(jù)根據(jù)圖形割補(bǔ)法，可得陰影的面積．