Question

【題目】已知A，B兩點在直線m上，C，D兩點在直線n上，∠BAD=α，∠BCD=β．

（1）如圖1，若∠BAD=∠ADC，求證∠ABC=∠BCD．

（2）如圖2，m∥n，過點D作DE⊥BC于點E，∠BAD與∠DEB的角平分線相交于點P，求∠P（用α，β的式子表示）

（3）在（2）的條件下，若點A沿直線m向右運(yùn)動，且不與B點重合，則∠APE=�。�用α，β的式子表示，不寫證明過程）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠P=α+β-45°；（3）α+β-45°或135°+β-α

【解析】

（1）利用平行線的判定和性質(zhì)即可證明；

（2）根據(jù)條件求出∠DEP=45°，∠BAP=∠PAD=α，設(shè)AP，BC交于N，推出∠ANC=∠BAP+∠ABC=∠P+∠BEP，從而得到∠P的度數(shù)；

（3）分點A在點B左側(cè)，點A在點B右側(cè)兩種情況，參照（2）中過程，分別求出∠APE的度數(shù)即可.

解：（1）∵∠BAD=∠ADC，

∴m∥n，

∴∠ABC=∠BCD；

（2）∵DE⊥BC，

∴∠DEC=∠DEB=90°，

∵∠BAD與∠DEB的角平分線相交于點P，

∴∠DEP=∠BEP=∠DEB=45°，

∠BAP=∠PAD=∠BAD=α，

∵m∥n，

∴∠ABC=∠BCD=β，

設(shè)AP，BC交于N，

∵∠ANC=∠BAP+∠ABC=∠P+∠BEP，

∴α+β=∠P+45°，

∴∠P=α+β-45°；

（3）若點A在點B左側(cè)，由（2）得：

∠APE=α+β-45°；

若點A在點B右側(cè)，延長EP，交AD于Q，

∴∠APE=∠PAQ+∠AQP，

∵AP平分∠BAD，

∴∠PAQ=α，

由（2）得∠BEP=∠DEP=45°，

∴∠AQP=∠DEP+∠ADE=45°+∠ADE，

而∠EDC=90°-∠BCD=90°-β，

∴∠ADE=180°-（90°-β）-α=90°+β-α，

∴∠AQP=45°+90°+β-α，

∴∠APE=∠PAQ+∠AQP=α+45°+90°+β-α=135°+β-α.