Question

如圖，菱形ABCD的邊長為6且∠DAB=60°，以點A為原點、邊AB所在的直線為x軸且頂點D在第一象限建立平面直角坐標系．動點P從點D出發(fā)沿折線DCB向終點B以2單位/每秒的速度運動，同時動點Q從點A出發(fā)沿x軸負半軸以1單位/秒的速度運動，當點P到達終點時停止運動，運動時間為t，直線PQ交邊AD于點E．
（1）求出經(jīng)過A、D、C三點的拋物線解析式；
（2）是否存在時刻t使得PQ⊥DB，若存在請求出t值，若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)AE長為y，試求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若F、G為DC邊上兩點，且點DF=FG=1，試在對角線DB上找一點M、拋物線ADC對稱軸上找一點N，使得四邊形FMNG周長最小并求出周長最小值．

Answer 1

分析：（1）求拋物線的解析式可利用待定系數(shù)法，關(guān)鍵在于確定點D、C的坐標．在等邊△DAB中，已知邊長，容易求出點D到x、y軸的距離，據(jù)此可得點D的坐標．而將點D向右平移6個單位就能得到點C的坐標，則此問可解．
（2）菱形的對角線互相垂直平分，那么連接AC后，則有AC⊥DB，若PQ⊥DB，必須滿足PQ∥AC，顯然當點P在BC上時是不會符合該條件的，那么只有P在CD上這一種情況．此時，四邊形PCAQ是平行四邊形，由對邊相等（即PC=AQ）列等式即可求出t值．
（3）此問應(yīng)分作兩段分析：
①P在CD上，此時AQ∥DP，有△DEP∽△AEQ，利用對應(yīng)邊成比例可求出AE、DE的比例關(guān)系，由此得到y(tǒng)的表達式；
②P在BC上，此時AE∥PB，有△QEA∽△QPB，解題思路同①，利用相似三角形的性質(zhì)得到y(tǒng)的表達式．
（4）要注意兩條關(guān)鍵線：直線BD、拋物線的對稱軸；若使得四邊形FMNG的周長最小，可先作F、G分別關(guān)于直線BD、拋物線對稱軸的對稱點F′、G′，連接F′G′后，與BD、對稱軸的交點就是符合條件的M、N，那么四邊形的最小周長即為F′G′+FG．

解答：解：（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6
則：D到y(tǒng)軸的距離=

1

2

AB=3、D到x軸的距離=DA•sin∠DAB=3

3

；
∴D（3，3

3

）；
由于DC∥x軸，且DC=AB=6，那么將點D右移6個單位后可得點C，即C（9，3

3

）；
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx，有：

a×32+b×3=3 3 a×92+b×9=3 3

，解得

a=- 1 9 3 b= 4 3 3

∴拋物線解析式為：y=-

1

9

3

x²+

4

3

3

x．

（2）如圖1，連接AC知AC⊥BD，若PQ⊥DB，則PQ∥AC，那么P在BC上時不存在符合要求的t值，
當P在DC上時，由于PC∥AQ且PQ∥AC，
所以四邊形PCAQ是平行四邊形，
則PC=AQ，有6-2t=t，得t=2．

（3）①如圖1，當點P在DC上，即0≤t≤3時，
有△EDP∽△EAQ，
則

AE

DE

=

AQ

DP

=

t

2t

=

1

2

，
那么AE=

1

3

AD=2，即y=2；
②如圖2，當點P在CB上，
即3＜t≤6時，有△QEA∽△QPB，
則

AE

PB

=

AQ

QB

，即

AE

12-2t

=

t

6+t

，
得y=

2t(6-t)

6+t

，
綜上所述：y=

2(0≤t≤3) 2t(6-t) 6+t (3＜t≤6)

，

（4）如圖3，作點F關(guān)于直線DB的對稱點F′，由菱形對稱性知F′在DA上，用DF′=DF=1；
作點G關(guān)于拋物線ADC對稱軸的對稱點G′，
易求DG′=4，
連接F′G′交DB于點M、交對稱軸于點N，點M、N即為所求的兩點．
過F′作F′H⊥DG′于H，
在Rt△F′HD中，∠F′DH=180°-∠ADC=60°，F(xiàn)′D=1；
則：F′H=F′D•sin60°=

3

2

，HD=F′D•cos60°=

1

2

，HG′=HD+DG′=

9

2

．
用勾股定理計算得F′G′=

21

，所以四邊形FMNG周長最小為F′G′+FG=

21

+1．

點評：此題為函數(shù)幾何綜合解答題，涉及了二次函數(shù)、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理、軸對稱性等有關(guān)知識，也重點考查了學生對分類討論思想的掌握情況．本題著力菱形的各項性質(zhì)而設(shè)計，如“菱形的對角線互相垂直”、“菱形對邊互相平行”、“菱形是軸對稱圖形”等，（2）（3）（4）問依次考察了學生對菱形基本性質(zhì)的掌握程度及運用其性質(zhì)靈活解題的能力，本題在設(shè)計時，（1）（2）（3）（4）問難度依次遞增，充分考慮了不同層次的學生，讓每位答題的學生都有所收獲，都能獲取成功的體驗，同時本題又兼顧了壓軸題的選拔功能，通過本題可以很好地區(qū)分學生的層次，激發(fā)更多的學生去攀登數(shù)學高峰．