Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，點(diǎn)P，Q，M，N分別從點(diǎn)A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，四個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ＝x cm(x≠0)，則AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm.

(1)當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊能構(gòu)成一個(gè)三角形？

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）－1；（2）當(dāng)x＝2或4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】

（1）以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形的必須條件是點(diǎn)P、N重合且點(diǎn)Q、M不重合，此時(shí)AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者點(diǎn)Q、M重合且點(diǎn)P、N不重合，此時(shí)AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根據(jù)這兩種情況來(lái)求解x的值．

（2）以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的話，因?yàn)橛傻谝粏?wèn)可知點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，AP=MC，BQ=ND；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，AN=MC，BQ=PD．所以可以根據(jù)這些條件列出方程，解方程即可．

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形．

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由x2+2x=20，得x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去）．

因?yàn)?/span>BQ+CM=x+3x=4（﹣1）＜20，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合．

所以x=﹣1符合題意．

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，由x+3x=20，得x=5．

此時(shí)DN=x2=25＞20，不符合題意．

故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合．

所以所求x的值為﹣1．

（2）由（1）知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，

由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），

解得：x1=0（舍去），x2=2．

當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形．

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，

由20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，

解得：x1=﹣10（舍去），x2=4．

當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形．

所以當(dāng)x=2或x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．