Question

已知一次函數(shù)y₁=x+m的圖象與反比例函數(shù)y₂=

6

x

的圖象交于A、B兩點(diǎn)．已知當(dāng)x＞1時，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂．雙曲線在第一象限上有一點(diǎn)C到x軸的距離為2
（1）求一次函數(shù)的解析式和△ABC的面積．
（2）若在第三象限的雙曲線上有點(diǎn)P（異于點(diǎn)B），使S_△PAC=S_△ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）當(dāng)x＞1時，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂，即可求得A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得A的坐標(biāo)，求得直線的解析式，則B的坐標(biāo)可以求得，過B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，作CD⊥BF，AE⊥BF分別于點(diǎn)D、E，根據(jù)S_△ABC=S_△ABE+S_梯形AEDC-S_△BCD即可求得△ABC的面積；
（2）首先求得直線AC的解析式，S_△PAC=S_△ABC，則BP∥AC，即可求得BP的解析式，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵當(dāng)x＞1時，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂，
∴A的橫坐標(biāo)是1，把x=1代入y=

6

x

，則y=6，即A的坐標(biāo)是（1，6），
把（1，6）代入y=x+m得：6=1+m，
解得：m=5，
則一次函數(shù)的解析式是：y=x+5；
解方程組

y=x+5 y= 6 x

，得

x=1 y=6

或

x=-6 y=-1

，
則B的坐標(biāo)是（-6，-1）．
過B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，作CD⊥BF，AE⊥BF分別于點(diǎn)D、E．則D的坐標(biāo)是（3，-1），E的坐標(biāo)是（1，-1）．
BD=9，BE=7，AE=7．
則S_△ABE=

1

2

AE•BE=

1

2

×7×7=

49

2

，
S_△BCD=

1

2

BD•CD=

1

2

×9×3=

27

2

，
S_梯形AEDC=

1

2

（AE+CD）•ED=

1

2

（7+3）×2=10，
則S_△ABC=S_△ABE+S_梯形AEDC-S_△BCD=

49

2

+10-

27

2

=21；
（2）設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
則

k+b=6 3k+b=2

，
解得：

k=-2 b=8

，
則直線AC的解析式是y=-2x+8．
設(shè)PB的解析式是y=-2x+c，把（-6，-1）代入解析式得：12+c=-1，
解得：c=-13．
則PB的解析式是y=-2x-13，
解方程組

y=-2x-13 y= 6 x

，
解得：

x=- 1 2 y=-12

或

x=-6 y=-1

．
故P的坐標(biāo)是（-

1

2

，-12）．
故答案是：（-

1

2

，-12）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．