20、觀察下列運(yùn)算并填空：
1×2×3×4+1=25=52；
2×3×4×5+1=121=112：
3×4×5×6+1=361=192；…
根據(jù)以上結(jié)果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=
（n2+5n+5）2
．
分析：先根據(jù)題中的一系列等式，把5的平方，11的平方以及19的平方變形后，歸納猜想得到所求式子的化簡(jiǎn)結(jié)果，然后進(jìn)行證明，方法是利用多項(xiàng)式的乘法法則把等式的左邊化簡(jiǎn)，合并后，把平方項(xiàng)的系數(shù)拆為10+25，然后利用完全平方公式化簡(jiǎn)后，即可得到與等式的右邊相等．
解答：解：由1×2×3×4+1=25=52=（02+5×0+5）2；
2×3×4×5+1=121=112=（12+5×1+5）2；
3×4×5×6+1=361=192=（22+5×2+5）2，…
觀察發(fā)現(xiàn)：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=（n2+5n+5）2．
證明：等式左邊=（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1
=（n2+3n+2）（n2+7n+12）+1
=n4+7n3+12n2+3n3+21n2+36n+2n2+14n+25
=n4+10n3+35n2+50n+25
=n4+2n2（5n+5）+（5n+5）2
=（n2+5n+5）2=等式右邊．
故答案為：（n2+5n+5）2
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生根據(jù)已有的等式歸納總結(jié)，得出一般性規(guī)律的能力，是一道中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

18、觀察下列運(yùn)算并填空：
1×2×3×4+1=25=52；
2×3×4×5+1=121=112：
3×4×5×6+1=361=192；…
根據(jù)以上結(jié)果，猜想研究n（n+1）（n+2）（n+3）+1=
（n2+3n+1）2
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

18、觀察下列運(yùn)算并填空：
1×2×3×4+1=24+1=25=52
2×3×4×5+1=120+1=121=112
3×4×5×6+1=360+1=361=192
4×5×6×7+1=
840
+1=
841
=
29
2
7×8×9×10+1=
5040
+1=
5041
=
71
2
試猜想（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=
（n2+5n+5）
2．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

觀察下列運(yùn)算并填空：
1×2×3×4+1=24+1=25=52；   2×3×4×5+1=120+1=121=112
3×4×5×6+1=360+1=361=192…
（1）4×5×6×7+1=
840
840
+1=
842
842
=
29
29
2
（2）試猜想（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=
（n2+5n+5）
（n2+5n+5）
2．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

觀察下列運(yùn)算并填空：
1×2×3×4+1=25=52；
2×3×4×5+1=121=112；
3×4×5×6+1=361=192；
…
9×10×11×12+1=
11881
11881
=
109
109
2；
根據(jù)以上結(jié)果，猜想：
（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=
（n2+5n+5）
（n2+5n+5）
2．

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