Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°（0°＜＜180°），分別交直線BC、AD于點(diǎn)E、F．

（1）當(dāng)=_____°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，從A、B、C、D、E、F中任意4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形，

①當(dāng)=_______°時(shí)，構(gòu)造的四邊形是菱形；

②若構(gòu)造的四邊形是矩形，求該矩形的兩邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）90；（2）①45或90；②和；和

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的判斷方法即可解決問題；
（2）①分兩種情形分別解決問題即可；
②分兩種情形討論求解即可；

解：（1）當(dāng)α＝90°，四邊形ABEF是平行四邊形；
理由：∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝∠AOF＝90°，
∴AB∥EF，

∵平行四邊形ABCD
∴AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
故答案為：90°．
（2）①當(dāng)α＝45°或90°時(shí)，四邊形BEDF是菱形．

當(dāng)α＝45°時(shí)
∵AD∥BC，
∴∠FDO＝∠EBO，
∵∠FOD＝∠BOE，OD＝OB，
∴△FDO≌△EBO，
∴DF＝BE，

∵DF∥BE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵OA＝OC＝2，AB＝2，
∴AB＝OA，
∴∠AOB＝45°，
∴∠BOF＝45°＋45°＝90°，
∴BD⊥EF，
∴四邊形BEDF是菱形．
當(dāng)α＝90°時(shí)，同法可證四邊形AFCE是菱形．

故答案為：45°或90°．
②∵AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝2，

當(dāng)EF＝AC時(shí)，四邊形AECF是矩形，對(duì)角線AC＝4，過A點(diǎn)作AE⊥BC于BC,過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，如圖1，

∴△AEB∽△BAC

∴

∴AE2+BE2=AB2

∴BE=，AE=

∴EC=BC-BE=

過B作BF⊥AD于F，過D作DE⊥BC于E，

此時(shí)四邊形BEDF是矩形，EF＝BD，如圖2

同理可得：DA=BC=2，AF=，BF =，

∴BE=DF＝DA+FA=

矩形的邊長(zhǎng)為：和或和

故答案為：和或和