Question

【題目】如圖1，在正方形中，點為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于，連接.

(1)求的度數(shù).

(2)如圖，為的中點，連接.

①求證：；

②若正方形邊長為，求線段的長.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①詳見解析；②

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折疊的性質(zhì)得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”證明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形對應(yīng)角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；
（2）①由折疊的性質(zhì)和線段中點的定義可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；
②設(shè)AG=x，表示出GF、BG，根據(jù)點E是BC的中點求出BE、EF，從而得到GE的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；

（1）解：如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，

，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3=∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC=（∠ADF+∠FDC），
=×90°，
=45°；
（2）①證明：如圖2所示：

∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，E為BC的中點，
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，
∴∠5=∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6，
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，
∴2∠5=2∠DEC，
即∠5=∠DEC，
∴BF∥DE；
②解：設(shè)AG=x，則GF=x，BG=12-x，
∵正方形邊長為12，E為BC的中點，
∴CE=EF=BE=×12=6，
∴GE=EF+GF=6+x，
在Rt△GBE中，根據(jù)勾股定理得：（12-x）2+62=（6+x）2，
解得：x=4，
即線段AG的長為4．