Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸分別交于原點和點，與對稱軸交于點.矩形的邊在軸正半軸上，且，邊，與拋物線分別交于點，.當(dāng)矩形沿軸正方向平移，點，位于對稱軸的同側(cè)時，連接，此時，四邊形的面積記為；點，位于對稱軸的兩側(cè)時，連接，，此時五邊形的面積記為.將點與點重合的位置作為矩形平移的起點，設(shè)矩形平移的長度為.

（1）求出這條拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)時，求的值；

（3）當(dāng)矩形沿著軸的正方向平移時，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出為何值時，有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x．（2）．（3）S=-t2+t-，當(dāng)t=時，S有最大值，最大值是．

【解析】分析: （1）根據(jù)點E、F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）找出當(dāng)t=0時，點B、N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OB、BN的長度，再根據(jù)三角形的面積公式可求出S△OBN的值；

（3）分0＜t≤4和4＜t≤5兩種情況考慮：①當(dāng)0＜t≤4時（圖1），找出點A、B、M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出AM、BN的長度，利用梯形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值；②當(dāng)4＜t≤5時，找出點A、B、M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出AM、BN的長度，將五邊形分成兩個梯形，利用梯形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值．將①②中的S的最大值進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論.

詳解:

（1）將E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，

，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x．

（2）當(dāng)t=0時，點B的坐標(biāo)為（1，0），點N的坐標(biāo)為（1，），

∴BN=，OB=1，

∴S△OBN=BNOB=．

（3）①當(dāng)0＜t≤4時（圖1），點A的坐標(biāo)為（t，0），點B的坐標(biāo)為（t+1，0），

∴點M的坐標(biāo)為（t，-t2+2t），點N的坐標(biāo)為（t+1，-（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=-t2+2t，BN=-（t+1）2+2（t+1），

∴S=（AM+BN）AB=×1×[-t2+2t-（t+1）2+2（t+1）]，

=-t2+t+，

=-（t-）2+，

∵-＜0，

∴當(dāng)t=4時，S取最大值，最大值為；

②當(dāng)4＜t≤5時（圖2），點A的坐標(biāo)為（t，0），點B的坐標(biāo)為（t+1，0），

∴點M的坐標(biāo)為（t，-t2+2t），點N的坐標(biāo)為（t+1，-（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=-t2+2t，BN=-（t+1）2+2（t+1），

∴S=（5-t）（-t2+2t+5）+（t-4）[5-（t+1）2+2（t+1）]，

=（t3-3t2+5t+25）+（-t3+t2+t-），

=-t2+t-，

=-（t-）2+，

∵-＜0，

∴當(dāng)t=時，S取最大值，最大值為．

∵=＜，

∴當(dāng)t=時，S有最大值，最大值是．