Question

已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G．

（1）判斷AC與圖中的那條線段相等，并證明你的結(jié)論；

（2）若CE的長為，求BG的長．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BD=CD，根據(jù)AAS證明Rt△DFB與Rt△DAC全等即可；

（2）連結(jié)CG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和勾股定理解答即可．

【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

∵∠ABC=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形．

∴BD=CD，

∵BE⊥AC于E，

∴∠BEC=90°，

∵∠BFD=∠EFC，

∴∠DBF=∠DCA，

在Rt△DFB與Rt△DAC中，

，

∴Rt△DFB≌Rt△DAC，

∴BF=AC；

（2）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=22.5°，

∵BE⊥AC于E，

∴∠BEA=∠BEC=90°，

又∵BE=BE，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC，

∴CE=AE．

連結(jié)CG，

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴BD=CD，

又H是BC邊的中點(diǎn)，

∴DH⊥BC，

∴DH垂直平分BC，

∴BG=CG，

∵∠EBC=22.5°，

∴∠GCB=22.5°，

∴∠EGC=45°，

∴Rt△CEG是等腰直角三角形，

∵CE的長為，

∴EG=，

利用勾股定理得：CE²+GE²=GC²，

∴，

∴，

∴BG的長為．

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．