Question

【題目】如圖，在中，，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．

（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系為_______；

（類比探究）（2）如圖2，若點(diǎn)在線段上，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（拓展應(yīng)用）（3）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）的長(zhǎng)為或

【解析】

（1）通過(guò)證明，可得，再根據(jù)，即可得證；

（2）通過(guò)證明，可得，再根據(jù)，即可得證；

（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求解即可．

解：（1）如圖1，若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)E在線段AD上，AP，CD，BC之間的數(shù)量關(guān)系為，理由如下

，垂足為點(diǎn)E

在△BPC和△ADC中

（2）．理由如下，如圖

∵，

∴，，

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

（3）的長(zhǎng)為或

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)

∵，

∴

∴

∴

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)