Question

【題目】如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如圖①放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

（1）直接寫出∠DPC的度數(shù)．

（2）如圖②，在圖①基礎(chǔ)上，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為5°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/秒，（當(dāng)PA轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動），在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)PC與PB重合時(shí)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少？

（3）在（2）的條件下，PC、PB、PD三條射線中，當(dāng)其中一條射線平分另兩條射線的夾角時(shí)，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是30秒時(shí)PC與PB重合；（3）15秒或26.25秒或37.5秒時(shí)其中一條射線平分另兩條射線的夾角．

【解析】

（1）易得∠DPC=180°-∠APC-∠BPD即可求

（2）只需設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是t秒時(shí)PC與PB重合，列方程解可得

（3）一條射線平分另兩條射線的夾角，分三種情況：當(dāng)PD平分∠BPC時(shí)；當(dāng)PC平分∠BPC時(shí)；當(dāng)PB平分∠DPC時(shí)，計(jì)算每種情況對應(yīng)的時(shí)間即可．

解：

（1）∠DPC=180°-∠APC-∠BPD=180°-60°-30°=90°

故答案為：90°

（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是t秒時(shí)PC與PB重合，根據(jù)題意列方程得

5t-t=30+90

解得t=30

又∵180÷5=36秒

∴30＜36

故旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是30秒時(shí)PC與PB重合．

（3）設(shè)t秒時(shí)其中一條射線平分另兩條射線的夾角，分三種情況：

①當(dāng)PD平分∠BPC時(shí)，5t-t=90-30，解得t=15

②當(dāng)PC平分∠BPC時(shí)，，解得t=26.25

③當(dāng)PB平分∠DPC時(shí)，5t-t=90-2×30，解得t=37.5

故15秒或26.25秒或37.5秒時(shí)其中一條射線平分另兩條射線的夾角．