Question

【題目】已知：在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90，M、N分別是CD和BC上的點(diǎn)．

求作：點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小．

作法：如圖，

（1）延長(zhǎng)AD，在AD的延長(zhǎng)線上截取DA=DA；

（2）延長(zhǎng)AB，在AB的延長(zhǎng)線上截取B A″=BA；

（3）連接A′A″，分別交CD、BC于點(diǎn)M、N．則點(diǎn)M、N即為所求作的點(diǎn)．

請(qǐng)回答：這種作法的依據(jù)是_____________．

Answer 1

【答案】①線段垂直平分線的定義（或線段垂直平分線的判定，或軸對(duì)稱的性質(zhì)即對(duì)稱點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分）

②線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等（線段垂直平分線的性質(zhì)）；

③兩點(diǎn)之間線段最短.

【解析】分析：分別作出點(diǎn)A關(guān)于CD，BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″分別交CD、BC于點(diǎn)M、N此時(shí)△AMN周長(zhǎng)最小．

詳解：作圖的依據(jù)是：①線段垂直平分線的定義（或線段垂直平分線的判定，或軸對(duì)稱的性質(zhì)即對(duì)稱點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分）

②線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等（線段垂直平分線的性質(zhì)）；

③兩點(diǎn)之間線段最短．

故答案為：①線段垂直平分線的定義（或線段垂直平分線的判定，或軸對(duì)稱的性質(zhì)即對(duì)稱點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分）

②線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等（線段垂直平分線的性質(zhì)）；

③兩點(diǎn)之間線段最短．