【題目】如圖1,已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合),PE⊥BC于點(diǎn)E,PF⊥CD于點(diǎn)F.
(1)求證:BP=DP;
(2)如圖2,若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP?若是,請給予證明;若不是,請用反例加以說明;
(3)試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn),分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連接,使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等,并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)證明:證法一:在△ABP與△ADP中,
∵AB=AD∠BAC=∠DAC,AP=AP,
∴△ABP≌△ADP,
∴BP=DP.
證法二:利用正方形的軸對稱性,可得BP=DP.
(2)證明:解:不是總成立.
當(dāng)四邊形PECF的點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí),DP>DC>BP,此時(shí)BP=DP不成立,
是當(dāng)P點(diǎn)在AC的延長線上時(shí),BP=DP,
說明:未用舉反例的方法說理的不得分.
(3)解:連接BE、DF,則BE與DF始終相等,
,
在圖1中,由正方形ABCD可證:
AC平分∠BCD,
∵PE⊥BC,PF⊥CD,
∴PE=PF,∠BCD=90°,
∴四邊形PECF為正方形.
∴CE=CF,
∵∠DCF=∠BCE,
BC=CD,
∴△BEC≌△DFC,
∴BE=DF.
【解析】(1)由正方形的性質(zhì)可證△ABP≌△ADP,即BP=DP;(2)當(dāng)四邊形PECF的點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí),DP>DC>BP,此時(shí)BP=DP不成立;(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證△BEC≌△DFC,即BE=DF.
【考點(diǎn)精析】利用全等三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等;①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是 的中點(diǎn),⊙O的切線BD交AC的延長線于點(diǎn)D,E是OB的中點(diǎn),CE的延長線交切線BD于點(diǎn)F,AF交⊙O于點(diǎn)H,連接BH.
(1)求證:AC=CD;
(2)若OB=2,求BH的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0,4)、(﹣1,0).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△ABP的面積最大時(shí),求出此時(shí)P的坐標(biāo)及面積的最大值;
(3)若G為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)為x軸上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,0),當(dāng)D、E、F、G構(gòu)成平行四邊形時(shí),請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,河的兩岸l1與l2相互平行,A、B是l1上的兩點(diǎn),C、D是l2上的兩點(diǎn),某人在點(diǎn)A處測得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E(點(diǎn)E在線段AB上),測得∠DEB=60°,求C、D兩點(diǎn)間的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)點(diǎn)在第一象限及x軸、y軸上運(yùn)動(dòng),且每秒移動(dòng)一個(gè)單位,在第1秒鐘,它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(0,1),然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…],那么第35秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是( )
A.(4,0)
B.(0,5)
C.(5,0)
D.(5,5)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)E在AB上,當(dāng)△CDE的周長最小時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為( 。
A.(3,1)
B.(3, )
C.(3, )
D.(3,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棋盤中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,三顆棋子A,O,B的位置如圖所示,它們的坐標(biāo)分別是(﹣1,1),(0,0)和(1,0)
(1)如圖,添加棋子C,使A,O,B,C四顆棋子成為一個(gè)軸對稱圖形,請?jiān)趫D中畫出該圖形的對稱軸;
(2)在其他個(gè)點(diǎn)位置添加一顆棋子P,使A,O,B,P四顆棋子成為一個(gè)軸對稱圖形,請直接寫出棋子P的位置坐標(biāo)(寫出2個(gè)即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題背景:
如圖①,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系.
小吳同學(xué)探究此問題的思路是:將△BCD繞點(diǎn)D,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)A,E處(如圖②),易證點(diǎn)C,A,E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD,從而得出結(jié)論:AC+BC= CD.
簡單應(yīng)用:
(1)在圖①中,若AC= ,BC=2 ,則CD= .
(2)如圖③,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙上, = ,若AB=13,BC=12,求CD的長.
拓展規(guī)律:
(3)如圖④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的長(用含m,n的代數(shù)式表示)
(4)如圖⑤,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),若點(diǎn)E滿足AE= AC,CE=CA,點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn),則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,⊙O為△ABC的外接圓,BC為直徑,點(diǎn)E在AB上,過點(diǎn)E作EF⊥BC,點(diǎn)G在FE的延長線上,且GA=GE.
(1)求證:AG與⊙O相切.
(2)若AC=6,AB=8,BE=3,求線段OE的長.
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