Question

（2013年四川綿陽12分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE．

（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若E是的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

解：（1）CD與⊙O相切。理由如下：

∵AC為∠DAB的平分線，∴∠DAC=∠BAC。
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。，∴∠DAC=∠OCA。
∴OC∥AD。
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD。
∵OC是⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切。
（2）如圖，連接EB，由AB為直徑，得到∠AEB=90°，
∴EB∥CD，F(xiàn)為EB的中點(diǎn)�！郞F為△ABE的中位線。
∴OF=AE=，即CF=DE=。
在Rt△OBF中，根據(jù)勾股定理得：EF=FB=DC=。
∵E是的中點(diǎn)，∴=，∴AE=EC。∴S_弓形AE=S_弓形EC。
∴S_陰影=S_△DEC=××=。

（1）CD與圓O相切，理由為：由AC為角平分線得到一對(duì)角相等，再由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OC與AD平行，根據(jù)AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得證。
（2）根據(jù)E為弧AC的中點(diǎn)，得到弧AE=弧EC，利用等弧對(duì)等弦得到AE=EC，可得出弓形AE與弓形EC面積相等，陰影部分面積拼接為直角三角形DEC的面積，求出即可。