Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD﹣DO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)N落在BD上時(shí)，求t的值；

（2）當(dāng)正方形PQMN的邊經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)（包括正方形PQMN的頂點(diǎn)），求此時(shí)t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）寫出在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，直線DN恰好平分△BCD面積時(shí)t的所有可能值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)點(diǎn)N落在BD上時(shí)，如圖1．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN∥QM，PN=PQ=t．

∴△DPN∽△DQB．

∴ = ，

∵PN=PQ=PA=t，DP=6﹣t，QB=AB=8，

∴ = ，

∴t= ．

∴當(dāng)t= s時(shí)，點(diǎn)N落在BD上

（2）

解：①如圖2

，

則有QM=QP=t，MB=8﹣t．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴MN∥DQ．

∵點(diǎn)O是DB的中點(diǎn)，

∴QM=BM．

∴t=8﹣t．

∴t=4．

②如圖3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°．

∵AB=8，AD=6，

∴DB=10．

∵點(diǎn)O是DB的中點(diǎn)，

∴DO=5，

∴1×t=AD+DO=6+5．

∴t=11．

∴當(dāng)t=4s或11s時(shí)，正方形PQMN的邊經(jīng)過點(diǎn)O

（3）

解：①當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，如圖4．

S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．

②當(dāng) ＜t≤6時(shí)，如圖5，

∵tan∠ADB= = ，

∴ = ．

∴PG=8﹣ t．

∴GN=PN﹣PG=t﹣（8﹣ t）= t﹣8．

∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，

∴ = ．

∴NF= GN= （ ﹣8）= t﹣6．

∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF

=t2﹣ ×（ t﹣8）×（ t﹣6

=﹣ t2+14t﹣24．

綜上所述：當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，S=t2．

當(dāng) ＜t≤6時(shí)，S=﹣﹣ t2+14t﹣24

（4）

解：設(shè)直線DN與BC交于點(diǎn)E，

∵直線DN平分△BCD面積，

∴BE=CE=3．

①點(diǎn)P在AD上，過點(diǎn)E作EH∥PN交AD于點(diǎn)H，如圖7，

則有△DPN∽△DHE．

∴ = ．

∵PN=PA=t，DP=6﹣t，DH=CE=3，EH=AB=8，

∴ = ，

解得；t= ．

②點(diǎn)P在DO上，連接OE，如圖8，

則有OE=4，OE∥DC∥AB∥PN．

∴△DPN∽△DOE．

∴ = ，

∵DP=t﹣6，DO=5，OE=4，

∴PN= （t﹣6）．

∵PQ= （16﹣t），PN=PQ，

∴ （t﹣6）= （16﹣t）．

解得：t= ．

綜上所述：當(dāng)直線DN平分△BCD面積時(shí)，t的值為 s或 s

【解析】（1）可證△DPN∽△DQB，從而有 = ，即可求出t的值．（2）只需考慮兩個(gè)臨界位置（①M(fèi)N經(jīng)過點(diǎn)O，②點(diǎn)P與點(diǎn)O重合）下t的值，即可解決問題．（3）根據(jù)正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形形狀不同分成二類，如圖4、圖5，然后運(yùn)用三角形相似、銳角三角函數(shù)等知識(shí)就可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）由于點(diǎn)P在折線AD﹣DO運(yùn)動(dòng)，可分點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)P在DO上兩種情況進(jìn)行討論，然后運(yùn)用三角形相似等知識(shí)就可求出直線DN平分△BCD面積時(shí)t的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．