Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=k（x﹣ax﹣b），其中a≠b．

（1）若此二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，k），試求a，b滿足的關(guān)系式．

（2）若此二次函數(shù)和函數(shù)y=x2﹣2x的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，求該函數(shù)的表達(dá)式．

（3）若a+b=4，且當(dāng)0≤x≤3時(shí)，有1≤y≤4，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）ab=1；（2）y=x2﹣6x+8；（3）a=．

【解析】

（1）將（0，k）代入y=k（x﹣ax﹣b），整理后即可得；

（2）由（1）知，k=1，易得函數(shù)y=x2﹣2x與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）、（2，0），由對(duì)稱性可知此二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），（4，0），由此即可求得解析式；

（3）根據(jù)a+b=4，可得函數(shù)表達(dá)式變形為y=k（x﹣a）（x+a﹣4），然后分k＞0、k＜0兩種情況分別討論即可得.

（1）將（0，k）代入y=k（x﹣ax﹣b），得kab=k，

∵k≠0，

∴ab=1；

（2）由（1）知，k=1，

易得函數(shù)y=x2﹣2x與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）、（2，0），

因?yàn)榇硕�次函�?shù)和函數(shù)y=x2﹣2x的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

所以此二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），（4，0），

∴該函數(shù)解析式為：y=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8；

（3）∵a+b=4，

∴函數(shù)表達(dá)式變形為y=k（x﹣a）（x+a﹣4）．

①當(dāng)k＞0時(shí)，則根據(jù)題意可得：當(dāng)x=2，y=1；

當(dāng)x=0時(shí)，y=4，

∴，

消去k，整理，得

3a2﹣12a+16=0，

∵△=﹣48＜0，

∴此方程無解；

②當(dāng)k＜0時(shí)，則根據(jù)題意可得：當(dāng)x=2，y=4，

當(dāng)x=0時(shí)，y=1，

∴，

消去k，整理，得，

3a2﹣12a﹣4=0，

解得a=．