Question

【題目】如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．

（1）證明不論E、F在BC．CD上如何滑動，總有BE=CF；
（2）當點E、F在BC．CD上滑動時，分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接AC

∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，

∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠FAC

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°．

∴△ABC和△ACD為等邊三角形

∴∠ACF=60°，AC=AB

∴∠ABE=∠ACF

∴在△ABE和△ACF中，

∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠ACF，

∴△ABE≌△ACF（ASA）

∴BE=CF

（2）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的周長發(fā)生變化．理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，則 ．

∴ ，是定值

作AH⊥BC于H點，則BH=2，

．

△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE

由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．

故△AEF的周長會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，△CEF的周長會最小=4+ ，

【解析】 （1）連接AC，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角知：∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，從而得出∠BAE=∠FAC，根據(jù)菱形四邊相等及對角相等得出△ABC和△ACD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得出∠ACF=60°，AC=AB，然后由ASA判斷出△ABE≌△ACF，根據(jù)全等三角形對應邊相等得出BE=CF；
（2）四邊形AECF的面積不變，△CEF的周長發(fā)生變化．理由如下：根據(jù)全等三角形的面積相等得出 S Δ A B E = S Δ A C F ，故S 四 邊 形 A E C F = S Δ A E C + S Δ A C F = S Δ A E C + S Δ A B E = S Δ A B C ，是定值；作AH⊥BC于H點，則BH=2，△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE，由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．故△AEF的周長會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，△CEF的周長會最小。
【考點精析】本題主要考查了垂線段最短和菱形的性質的相關知識點，需要掌握連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；現(xiàn)實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質的應用；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．